π的发展历史

发布时间:2017-02-10 来源: 历史回眸 点击:

π的发展历史篇一:圆周率的发展史

▲圆周率的发展史

在历史上,有不少数学家都对圆周率作出过研究,当中著名的有阿基米德、托勒密、张衡、祖冲之等。他们在自己的国家用各自的方法,辛辛苦苦地去计算圆周率的值。下面,就是世上各个地方对圆周率的研究成果。

中国:

魏晋时,刘徽曾用使正多边形的边数逐渐增加去逼近圆周的方法(即「割圆术」),求得π的近似值3.1416。

汉朝时,张衡得出π的平方除以16等於5/8,即π等於10的开方(约为3.162)。虽然这个值不太准确,但它简单易理解,所以也在亚洲风行了一阵。

王蕃(229-267)发现了另一个圆周率值,这就是3.156,但没有人知道他是如何求出来的。 公元5世纪,祖冲之和他的儿子以正24576边形,求出圆周率约为355/113,和真正的值相比,误差小於八亿分之一。这个纪录在一千年后才给打破。

印度:

约在公元530年,数学大师阿耶波多利用384边形的周长,算出圆周率约为√9.8684。 婆罗门笈多采用另一套方法,推论出圆周率等於10的平方根。

欧洲

斐波那契算出圆周率约为3.1418。

韦达用阿基米德的方法,算出3.1415926535<π<3.1415926537

他还是第一个以无限乘积叙述圆周率的人。

鲁道夫万科伦以边数多过32000000000的多边形算出有35个小数位的圆周率。 华理斯在1655年求出一道公式π/2=2×2×4×4×6×6×8×8...../3×3×5×5×7×7×9×9...... 欧拉发现的 e的iπ次方加1等於0,成为证明π是超越数的重要依据。

之后,不断有人给出反正切公式或无穷级数来计算π,在这里就不多说了。

π与电脑的关系

在1949年,美国制造的世上首部电脑—ENIAC(Electronic Numerical Interator and Computer)在亚伯丁试验场启用了。次年,里特韦斯纳、冯纽曼和梅卓普利斯利用这部电脑,计算出π的2037个小数位。这部电脑只用了70小时就完成了这项工作,扣除插入打孔卡所花的时间,等於平均两分钟算出一位数。五年后,NORC(海军兵器研究计算机)只用了13分钟,就算出π的3089个小数位。科技不断进步,电脑的运算速度也越来越快,在60年代至70年代,随著美、英、法的电脑科学家不断地进行电脑上的竞争,π的值也越来越精确。在1973年,Jean Guilloud和M. Bouyer发现了π的第一百万个小数位。

在1976年,新的突破出现了。萨拉明(Eugene Salamin)发表了一条新的公式,那是一条二次收歛算则,也就是说每经过一次计算,有效数字就会倍增。高斯以前也发现了一条类似的公式,但十分复杂,在那没有电脑的时代是不可行的。之后, 不断有人以高速电脑结合类似萨拉明的算则来计算π的值。目前为止,π的值己被算至小数点后51,000,000,000个位。

为什麼要继续计算π

其实,即使是要求最高、最准确的计算,也用不著这麼多的小数位,那麼,为什麼人们还要不断地努力去计算圆周率呢?

这是因为,用这个方法就可以测试出电脑的毛病。如果在计算中得出的数值出了错,这就表示硬体有毛病或软体出了错,这样便需要进行更改。同时,以电脑计算圆周率也能使人们产生良性的竞争,(转 载于:wWw.zhAoQT.neT 蒲公 英文摘:π的发展历史),科技也能得到进步,从而改善人类的生活。就连微积分、高等三角恒等式,也是有研究圆周率的推动,从而发展出来的。

▲π的年表

圆周率的发展

年代 求证者 内容

古代 中国周髀算经 周一径三

圆周率 = 3

西方圣经

元前三世 阿基米德(希腊) 1. 圆面积等於分别以半圆周和径为边长的矩形

的面积

2.圆面积与以直径为长的正方形面积之比为11:14

3. 圆的周长与直径之比小於3 1/7 ,大於

3 10/71

三世纪 刘徽

中国 用割圆术得圆周率=3.1416称为'徽率'

五世纪 祖冲之

中国 1. 3.1415926<圆周率<3.1415927

2. 约率 = 22/7

3. 密率 = 355/113

1596年 鲁道尔夫

的35 位数字?荷兰 正确计萛得

1579年 韦达

法国 ?'韦达公式'以级数无限项乘积表示

1600年 威廉.奥托兰特

/σ表示圆周率?英国 用

π是希腊文圆周的第一个字母

σ是希腊文直径的第一个字母

1655年 渥里斯

的先例?英国 开创利用无穷级数求

1706年 马淇

英国 的100 位数字?'马淇公式'计算出

1706年 琼斯

表示圆周率?英国 首先用

1789年 乔治.威加

英国 至126 位?准确计萛

1841年 鲁德福特

至152 位?英国 准确计萛

1847年 克劳森

至248 位?英国 准确计萛

1873年 威廉.谢克斯

至527 位?英国 准确计萛

1948年 费格森和雷恩奇

至808 位?英国 美国 准确计萛

1949年 赖脱威逊

计算到2034位?美国 用计算机将

计算到亿位?现代 用电子计算机可将

▲背诵π

历来都有不少人想挑战自己的记忆力,他们通常以圆周率为目标。目前的世界记录是由敬之后藤创下的,他在1995年花了9个多小时,背诵出圆周率的42,000个位数。

目前,最常用的记忆圆周率技巧就是字长法,以每个字的字数代表圆周率的一个位数。在这种方法中最简单的就是“How I wish I could calculate pi.”

用中文去背圆周率也很简单,因为每个数字都只有一个音节,这样背起来就如背诗一样,只不过有点言不及义,例如:

山巅一石一壶酒

3.14159

二侣舞扇舞

26535

把酒砌酒扇又搧

8979323

饱死罗.....

846.....

关於π的有趣发现

将π的头144个小数位数字相加,结果是666。144也等於(6+6)*(6+6)

爱因斯坦的生日恰好是在π日(3/14/1879)

从π的第523,551,502个小数位开始,是数列123456789。

从第359个位数开始,是数字360。也就是说第360个位数正好位於数字360的中央。 在头一百万个小数中,除了2和4,其他数字都曾连续出现7次。

圆周率,一般以π来表示,是一个在数学及物理

数。它定义为圆形之周长与直径之比。它也等于圆形之面积与半径平

方之比。是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键。分

析学上,π 可定义为是最小的x>0 使得 sin(x) = 0。

常用的 π 近以值包括疏率: 22/7 及密率: 355/113。这两项均由祖冲之给出。 π 约等于(精确到小数点后第100位)

3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70680

古希腊欧几里得的《几何原本》(约公元前3世纪初)中提到圆周率是常数,中国古算书《周髀算经》(约公元前2世纪)中有「径一而周三」的记载,也认为圆周率是常数。历史上曾采用过圆周率的多种近似值 ,早期大都是通过实验而得到的结果,如古埃及纸草书(约公元前1700)中取π=(4/3)^4≒3.1604 。

第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德,他在《圆的度量》(公元前3世纪)中用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界,从正六边形开始,逐次加倍计算到正96边形,得到(3+(10/71)) < π < (3+(1/7)) ,开创了圆周率计算的几何方法(亦称古典方法,或阿基米德方法),得出精确到小数点后两位的π值。

中国数学家刘徽在注释《九章算术》时(公元263年)只用圆内接正多边形就求得π的近似值,也得出精确到两位小数的π值,他的方法被后人称为,其中有求极限的思想。 南北朝时代的数学家祖冲之利用割圆术进一步得出精确到小数点后7位的π值(公元466年),给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927,还得到两个近似分数值,密率355/113和约率22/7,这一纪录在世界上保持了一千年之久。为纪念祖冲之对中国圆周率发展的贡献,将这一推算值用他的名字被命名为“祖冲之圆周率”,简称“祖率”。

其中的密率在西方直到1573才由德国人奥托得到,1625年发表于荷兰工程师安托尼斯的著作中,欧洲称之为安托尼斯率。

阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值,打破祖冲之保持近千年的纪录。德国数学家柯伦于1596年将π值算到20位小数值,后投入毕生精力,于1610年算到小数后35位数,该数值被用他的名字称为鲁道夫数。

1579年法国数学家韦达给出π的第一个解析表达式。

此后,无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π 值表达式纷纷出现,π值计算精度也迅速增加。1706 年英国数学家梅钦计算π值突破100位小数大关。1873 年另一位英国数学家尚可斯将π值计算到小数点后707位,可惜他的结果从528位起是错的。到1948年英国的弗 格森和美国的伦奇共同发表了π的808位小数值,成为人工计算圆周率值的最高纪录。

π的发展历史篇二:圆周率计算的发展史

圆周率计算的发展史

电气五班王占1301065606

摘要:中国的古代数学著作《周髀算经》中就有“周三径一”的说法,意思是说圆的周长是它直径的3倍。

很早以前,人们看出,圆的周长和直经的比是个与圆的大小无关的常数,并称之为圆周率. 希腊欧几里得《几何原本》(约公元前3世纪初)中提到圆周率是常数,中国古算书《周髀算经》( 约公元前2世纪)中有“径一而周三”的记载,也认为圆周率是常数。历史上曾采用过圆周率的多种近似值,早期大都是通过实验而得到的结果,如古埃及纸草书(约公元前1700)中取π=(4/3)^4≈3.1604 。第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德,他在《圆的度量》(公元前3世纪)中用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界,从正六边形开始,逐次加倍计算到正96边形,得到(3+(10/71)) < π < (3+(1/7)) ,开创了圆周率计算的几何方法(亦称古典方法,或阿基米德方法),得出精确到小数点后两位的π值。

中国数学家刘徽在注释《九章算术》(263年)时只用圆内接正多边形就求得π的近似值,也得出精确到两位小数的π值,他的方法被后人称为割圆术。他用割圆术一直算到圆内接正192边形。

南北朝时代数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的π值(约5世纪下半叶),给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927,还得到两个近似分数值,密率355/113和约率22/7。其中的密率在西方直到1573才由德国人奥托得到,1625年发表于荷兰工程师安托尼斯的著作中,欧洲称之为安托尼斯率。

阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值,打破祖冲之保持近千年的纪录。

德国数学家柯伦于1596年将π值算到20位小数值,后投入毕生精力,于1610年算到小数后35位数,该数值被用他的名字称为鲁道夫数。 1579年法国数学家韦达给出π的第一个解析表达式。

此后,无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值表达式纷纷出现,π值计算精度也迅速增加。1706年英国数学家梅钦计算π值突破100位小数大关。1873 年另一位英国数学家尚可斯将π值计算到小数点后707位,可惜他的结果从528位起是错的。到1948年英国的弗格森和美国的伦奇共同发表了π的808位小数值,成为人工计算圆周率值的最高纪录。

电子计算机的出现使π值计算有了突飞猛进的发展。1949年美国马里兰州阿伯丁的军队弹道研究实验室首次用计算机(ENIAC)计算π值,一下子就算到2037位小数,突破了千位数。1989年美国哥伦比亚大学研究人员用克雷-2型和IBM-VF型巨型电子计算机计算出π值小数点后4.8亿位数,后又继续算到小数点后10.1亿位数,创下新的纪录。

古今中外,许多人致力于圆周率的研究与计算。为了计算出圆周率的越来越好的近似值,一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血。十九世纪前,圆周率的计算进展相当缓慢,十九世纪后,计算圆周率的世界纪录频频创新。整个十九世纪,可以说是圆周率的手工计算量最大的世纪。进入二十世纪,随着计算机的发明,圆周率的计算有了突飞猛进。借助于超级计算机,人们已经得到了圆周率的2061亿位精度。历史上最马拉松式的计算,其一是德国的

Ludolph Van Ceulen他几乎耗尽了一生的时间,计算到圆的内接正262边形,于1609年得到了圆周率的35位精度值,以至于圆周率在德国被称为Ludolph数;其二是英国的William Shanks,他耗费了15年的光阴,在1874年算出了圆周率的小数点后707位。可惜,后人发现,他从第528位开始就算错了。把圆周率的数值算得这么精确,实际意义并不大。现代科技领域使用的圆周率值,有十几位已经足够了。如果用Ludolph Van Ceulen算出的35位精度的圆周率值,来计算一个能把太阳系包起来的一个圆的周长,误差还不到质子直径的百万分之一。以前的人计算圆周率,是要探究圆周率是否循环小数。自从1761年Lambert证明了圆周率是无理数,1882年Lindemann证明了圆周率是超越数后,圆周率的神秘面纱就被揭开了。现在的人计算圆周率, 多数是为了验证计算机的计算能力,还有,就是为了兴趣。

祖冲之在圆周率的计算上取得了世界领先地位,求得"约率" 和"密率" (又称祖率)得到3.1415926<π<3.1415927.可惜,祖冲之的计算方法后来失传了.人们推测他用了刘徽的割圆术,但究竟用什么方法,还是一个谜. 15世纪,伊斯兰的数学家阿尔.卡西通过分别计算圆内接和外接正3 2 边形周长,把 π 值推到小数点后16位,打破了祖冲之保持了上千年的记录. 1579年法国韦达发现了关系式 ...首次摆脱了几何学的陈旧方法,寻求到了π的解析表达式. 1650年瓦里斯把π表示成元穷乘积的形式 稍后,莱布尼茨发现接着,欧拉证明了这些公式的计算量都很大,尽管形式非常简单.π值的计算方法的最大突破是找到了它的反正切函数表达式. 1671年,苏格兰数学家格列哥里发现了 1706年,英国数学麦欣首先发现 其计算速度远远超过方典算法. 1777年法国数学家蒲丰提出他的著名的投针问题.依靠它,可以用概率方法得到 的过似值.假定在平面上画一组距离为 的平行线,向此平面任意投一长度为 的针,若投针次数为 ,针马平行线中任意一条相交的次数为 ,则有,很多人做过实验,1901年,有人投针3408次得出π3.1415926,如果取 ,则该式化简为 1794年勒让德证明了π是无理数,即不可

能用两个整数的比表示. 1882年,德国数学家林曼德证明了π是超越数,即不可能是一个整系数代数方程的根.

本世纪50年代以后,圆周率π的计算开始借助于电子计算机,从而出现了新的突破.目前有人宣称已经把π计算到了亿位甚至十亿位以上的有效数字. 人们试图从统计上获悉π的各位数字是否有某种规律.竞争还在继续,正如有人所说,数学家探索中的进程也像π这个数一样:永不循环,无止无休!

对圆周率解析法作深入的探讨,级数论、方程论及数论得到进一步的研究,理论更臻完善。对中算史加以研究与着成专书。数学教育制度重新建立起来。此期末,西方数学第二次输入中国,以补中算的不足,中国数学在此又进入另一阶段。

π的发展历史篇三:圆周率的产生、发展及应用

圆周率的产生、发展及应用

摘 要 [1][2]

圆周率,一般以?来表示,是一个在数学及物理学普遍存在的常数。它定义为圆形的周长与直径之比,也等于圆形的面积与半径平方之比,是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。圆周率是一个常数,其值[3]约等于

3.1415926(其精确数据见附录),它是一个无理数,即是一个无限不循环小数。

圆周率在生产实践中应用非常广泛,在科学不很发达的古代,计算圆周率是一件相当复杂和困难的工作。有了圆周率?不仅解决了困惑众多数学家的三大著名几何问题之一的化圆为方的不可能性,更为后续的数学研究奠定了基础。因此,圆周率的理论和计算在一定程度上反映了一个国家在当时的数学水平。

本文主要讨论了圆周率在各个时期的产生及发展历程,深刻剖析圆周率的历史价值及其广泛的应用,包括通过π找出各种表达式,通过?计算圆的面积和周长,一些函数的定义,积分的计算,指数的构成等都要用到?。

关键词:圆周率 数学史 产生 发展 应用 论文

1、圆周率的产生 很早以前,人们看出,圆的周长和直经的比是个与圆的大小无关的常数,并称之为圆周率。1600年,英国威廉·奥托兰特首先使用?表示圆周率,因为?是希腊之“圆周”的第一个字母,而?是“直径”的第一个字母,当?=1时,圆周率为?。1706年英国的琼斯首先使用?。1737年欧拉在其著作中使用?。后来被数学家广泛接受,一直沿用至今。

?是一个非常重要的常数。一位德国数学家评论道:“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度,可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的重要标志。”古今中外很多数学家都孜孜不倦地寻求过?值的计算方法。

2、圆周率的发展历程

2.1 古希腊求?值

公元前200年间古希腊数学家阿基米德首先从理论上给出?值的正确求法。他用圆外切与内接多边形的周长从大、小两个方向上同时逐步逼近圆的周长,巧妙地求得?。 公元前150年左右,另一位古希腊数学家托勒密用弦表法(以1的圆心角所对弦长乘以360再除以圆的直径)给出了?的近似值3.1416。

2.2 古中国求?值

公元200年间,我国数学家刘徽提供了求圆周率的科学方法——割圆术(如图1所示),体现了极限观点。刘徽与阿基米德的方法有所不同,他只取“内接”不取“外切”。利用圆面积不等式推出结果,起到了事半功倍的效果。而后,祖冲之在圆周率的计算上取得了世界领先地位,求得“约率”和“密率”(又称祖率)得 1

到3.1415926<?<3.1415927。可惜,祖冲之的计算方法后来失传了。人们推测他用了刘徽的割圆术,但究竟用什么方法,还是一个谜。

正六边形 正十二边形 正二十四边形 正四十八边形

图1 割圆术

2.3 伊斯兰求?值 15世纪,伊斯兰的数学家阿尔·卡西通过分别计算圆内接和外接正32边形周长,把?值推到小数点后16位,打破了祖冲之保持了上千年的记录。

2.4 现代求?值 20世纪50年代以后,圆周率?的计算开始借助于电子计算机,从而出现了新的突破。目前有人宣称已经把?计算到了亿位甚至十亿位以上的有效数字。 人们试图从统计上获悉?的各位数字是否有某种规律。竞争还在继续,正如有人所说,数学家探索中的进程也像?这个数一样:永不循环,无止无休……

3、圆周率的应用

3.1 通过?找出各种表达式

1579年法国的韦达发现了关系式,首次摆脱了几何学的陈旧方法,寻求到了?的解析表达式。1650年瓦里斯把?表示成无穷乘积,无穷连分数,无穷级数等各种值表达式纷纷出现,计算精度也迅速增加。稍后,莱布尼茨发现接着欧拉证明了这些公式的计算量都很大。尽管形式非常简单,?值的计算方法的最大突破是找到了它的反正切函数表达式。

3.2 通过?计算圆的面积和周长

某个古代文牍员以不同长度的半径画了一些圆,他取了每个圆的直径(将半径加倍)只是为了好玩。他决定以每个圆的直径为单位长度在圆周上丈量。令人惊奇的是,不管圆的大小如何,圆周总是直径的3倍多一点。由于?与圆的特殊关系,故数学家设计用来计算出圆的面积和周长的新方法。

例:已知一个圆形花坛的直径是4米,沿它的外侧铺一条1米宽的小路,求这条小路的面积(精确到0.1平方米)。

解:花坛半径是:4?2=2(米);

所以小路的面积是:?(2?1)2???22?3.14?(9?4)?15.7(

平方米)。

3.3 一些函数的定义,积分的计算,指数的构成等都要用到?

随着数学的不断发展,π的应用不再局限于求圆的面积和周长,椭圆,萁舌 2

线,旋轮线等面积公式中也都出现了π值。

此外,一些函数的定义,积分的计算,指数的构成等都要用到π。例如,1777年,法国数学家蒲丰研究投针问题,将一根长为l的的针任意投到画有间距为a(a?l)的平行线的平面上,他得到得结论是:该针与任一平行线相交的概率是p?2l

a?,圆周率与随机现象产生了密切联系即?在概率中也有作用。在数学中还i

1?ii有一个重要公式??4log(1?)2,将圆周率与虚数单位i联系起来。

背诵圆周率能够锻炼人的记忆力,我国桥梁专家茅以升年轻时就能背诵圆周率锻炼记忆力。晚年时仍能轻松地背出圆周率的100位数值。

可见圆周率π不仅与我们身边的数学紧密相连,更与我们的生活息息相关。俗话说得好,“有理走遍天下,无理寸步难行”圆周率π就好比这个“理”。有了圆周率π不仅解决了困惑众多数学家的三大著名几何问题之一的化圆为方的不可能性,更为后续的数学研究奠定了基础。

参考文献:

[1] 李文林 编,数学史概论(第三版)[M],北京:高等教育出版社,2011.2。

[2] 圆周率的历史作用[EB/OL],http://zhidao.baidu.com/question/349092727,2012-12-6。

[3] 圆周率小数点后1000位是多少[EB/OL],http://zhidao.baidu.com/question/371232673,2012-12-6。

附录:

(圆周率精确到小数点后1000位)

?=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328160963185950244594553469083026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989

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