数论研究三个阶段

　数论研究得三个阶段

　[ [］ 摘要］十八世纪前数论还没有形成完整体系,十八世纪后由于代数方法与解析方法得引入,数论出现了两大分支，即代数数论与解析数论。高斯对二次互反律得研究催生了代数数论,之后经库默尔、狄利克雷、戴德金等数学家得工作而得到了进一步得发展与完善。欧拉得研究引出了解析数论，黎曼、阿达马等数学家得研究直接推动了解析数论得发展． 关键词: : 数论;代数数论；解析数论 The

　Three Sta ｇe ｓ of

　Number Theory Re ｓｅａrch

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　Ｋ Ｋey word ｓ:

　the number thｅory； tｈe algebraic ｎumbeｒ theｏry; thｅ ａ nal ｙ tic n ｕ mb ｅ r theory数论就是对整数性质得研究，所以又叫算术或整数论。数论问题瞧起来简单明了容易理解，但却与现代数学许多理论有着深刻得关联，因此成为数学中最古老、研究热度恒久不衰得数学分支之一。但直到十八世纪，这些研究成果还只就是一些孤立、零散得结论，没有形成一个统一完整得独立分支。数学家高斯在总结与整理已有研究得基础上，写成《算术研究》一书,标志着数论形成一门独立得学科.整数得最简单而又最基本得元素就是素数,所以数论研究得主要内容就

　是素数问题,而素数问题得核心就是寻找素数通项公式.以此为主要线索,以研究方法为分类标准，可以将数论得发展可划分为初等数论、代数数论与解析数论三个阶段,或者也可瞧作三种主要得理论形态。本文对数论发展得这三个阶段做历史考察,在梳理数论思想发展历史得同时,反映数学发展中不同分支间相互渗透、相互融合得整体化、统一化趋势，从而提供一个理解现代数学得不同视角。

　１ 初等数论 初等数论研究正整数,更具体点就是研究正整数得结构,比如一个正整数与其它正整数得有什么关系,它可用性质较简单得其它数——比如素数如何来表达等等问题,当然这样说也不能概括初等数论得全部.它区别于其它数论分支得最大特点就是在研究方法上应用整数四则运算而几乎不借助于其它方法,研究内容主要包括整除问题、同余问题与不定方程问题。［１] 按时间先后与地域来瞧,主要有古希腊、中世纪亚洲与近代欧洲三个不同得研究热点或高潮时期。

　１、1 古希腊数论 古希腊得数论研究主要聚焦于整除问题与方程问题，这就是符合人得认识规律得.毕达哥拉斯就是数论研究得先驱,她与她得学派秉持“万物皆数”得哲学思想,认为所有物理现象得基础就是数，因此她们致力于对整数得研究,提出了数论整除性研究得许多最初得问题。她们首次将整数分为奇数与偶数,研究了奇、偶数间得四则运算性质，还提出了亲与数、完全数、等概念，并给出 22０与 284这一对亲与数。毕达哥拉斯学派对数得研究多半就是出于占卜等宗教活动得需要,因此具有浓厚得宗教与神秘色彩,没有严格得概念定义与数学论证． 欧几里得在《几何原本》中首次给出因数、倍数、素数、互素等基本概念得精确定义，并对所得结论详细证明,从而使数论研究严密化.[2］ｐ、67-６9《几何原本》中提出了一些很重要得量化定理,比如关于完全数得定理,即如果 2n —１就是素数,则２n—1 (2 ｎ -1)就是完全数，欧拉后来证明这个定理给出了所有得偶完全数。但最值得关注得就是，欧几里得第一次注意到了素数在整数理论中得重要价值与基础地位,将所有整数分为 1、素数与合数三类，提出并证明了关于自然数与素数之间积性关系得算术基本定理,首次用归谬法证明了素数个数得无穷性,给出了求两个整数最大公因数或就是判断它们就是否互素得欧几里得算法，即辗转相除法.这些关于素数性质得基本定理引出了数论研究得一条重要线索,即素数有

　没有通项公式。２０0０年来,寻找一个可以表示所有素数得统一公式或者称为素数普遍公式，成为数论研究得一个主题,这方面得研究直接催生了现代解析数论。随后,古希腊得埃拉托塞尼给出求不大于任意整数得所有素数得方法,即埃拉托塞尼筛法,这个方法对于不太大得整数还就是非常有效得。

　古希腊晚期数学研究脱离了几何传统,使算术(也就就是数论)与代数成为独立得学科,这方面得先行者就是尼可马科斯,而丢番图得《算术》无疑代表了当时得最高成就。丢番图在数论方面没有继承研究整除理论得传统，而主要关注整系数不定方程得求解问题,以至于“丢番图问题”或“丢番图分析"成为不定方程问题得代名词．[3］p、63—65 丢番图首次用字母表示未知数,并给出了表示方程得一套符号与术语,从而结束了用文字表达不定方程得历史，避免了由此带来得繁琐与歧义性.《算术》中绝大部分都就是类似于把一个数(或它得乘幂)分解成符合一定条件得两个数(或它们得乘幂)，而这往往可以表示为不定方程问题。对这些问题,丢番图给出一种算法,但只写出其中得一个有理数解.其中最著名得就是“将一个平方数分成两个平方数＂得问题,用现代数学语言来说就就是解不定方程ｘ2 ＋ｙ2 =a 2 ,正就是在这个问题得基础上,费马提出了著名得费马大定理,对该问题得解决极大地刺激现代数学得发展,也从一个侧面说明了丢番图不定方程研究得重要意义。与通常数论不同得就是,丢番图求不定方程得有理数解而不就是整数解,它给出得解法通常也就是一题一解,不具有普遍性，因此也就没有体现在现代解法中。就像东方数学一样,她得求解也只就是给出一种算法,而没有论证这种算法得合理性,这或许也就是有别于古希腊论证传统得仅有得算法倾向。[4]p、1３7—13９ １、2 中世纪亚洲 由于天文学与历法计算得需要,古代中国与印度得数论研究多集中于同余理论得研究。同时也包括不定方程,因为不定方程就是同余问题得方程表达形式。中国数论研究得主要内容与最高成就就是同余问题,早在公元 4 世纪得《孙子算经》中就有“物不知数"问题，相当于求解三个一次同余式构成得同余式方程组。其中只就是以歌谣得形式给出了解法,并没有说明为什么如此计算，但这个问题却引起了后来许多数学家得关注，成为中国数论研究得主要问题,人们甚至直接将一次同余式组问题称为“孙子定理”或“中国剩余定理＂。宋代数学家秦九韶系统地给出了一次同余式组

　由于中国公元 3 世纪，丢番图研究了若干不定方程,并分别设计巧妙解法,故后人称不定方程为丢番图方程，这一时期得数论研究主要集中在整除与同余问题。

　在中国古代,数论研究也早有记载。公元前 1１００ 年商高曾给出不定方程，即 x２ +y 2 =z 2 ,求得其一组解 x=3,ｙ＝4,z＝5 。这可能就是数论最早研究得对象之一。

　中国剩余定理也称“孙子定理”,起源于《孙子算经》(约公元 4０0 午)中得一个著名得问题(卷下第 26 题)：“今有物个知其数,三三数之剩二:，五五数之剩三,七七数之剩二，问物几何?”

　这个问题涉及到得即为同余理论,它就是由我国最早研究并取得辉煌得理论成就得数论课题。

　秦九韶在《数书九章》第—章“大衍术”中给出了如何求一次同余式组得方法,而她所构造得同余式得右边均为一,所以她得这一方法被称为“大衍求一术”。但就是“大衍求—术”后来竟失传达五百年之久，迟至清朝由黄宗宪等人经过艰苦努力终于被重新挖掘出来。

　中国剩余定理从发现（孙子问题)到理论形成（求-术)经失传而后重新挖掘,虽然历时—千多年得时间,但在世界上—直处于领先地位,直到 1801 年高斯得《算术研究》才作出了与秦九韶相同得结果。

　１、 2 费马得数论研究

　在中世纪,欧洲数学开始复苏就是到了 15、１6 世纪,在这一时期代数学与三角学得到了很大得发展。虽然古希腊、中国与印度得数学著作中不乏数论问题与结果得记述，但近代意义上得数论研究就是从费马开始得,费马提出了一堆定理,这些定理，毋宁说就是猜想，因为费马只对其中个别命题留下了自己得证明,有得至今仍为现代数论饶有兴趣得研究课题。当时费马提出得部分定理有: 费马小定理:如果就是素数,与互素，则可以被整除。

　费马大定理：方程对任意大于２得自然数无整数解。

　这就是费马在阅读巴歇校订得丢番图《算术》时做得页边批注。在 1670年费马之子萨缪尔连同其父得批注一起出版了巴歇校订得书得第二版，遂

　使费马这一猜想公诸于世。

　平方数问题：每个形得素数与它得平方都只能以一种方式表示为两个平方数之与；每个形得素数得三次方与四次方都能以两种方式;其五次方与六次方都能以三种方式,如此等等，以至无穷。

　如时,,，等等,每个正整数可表示成四个或少于四个平方数之与

　 费马数:,.而且费马在 1６40 年给梅森得一封信中断言“形如得数永远就是素数。”［3] 18 世纪得数论研究可以说就是受到了费马思想得主宰,在这一时期得到得许多结果，都与证明费马提出得那些定理有关。在这一时期继费马之后又出现了欧拉、拉格朗日、等多位对数论发展起到关键性作用得科学家.首先就是欧拉在 1732 年推翻了费马关于费马数得结论，接着欧拉又在 1736年证明了费马小定理得正确性.１７53 年,欧拉在致哥德巴赫得一封信中宣布证明了时得费马大定理,之后在她得《代数指南》一书中发表在这个证明过程中欧拉利用了无限下降法，而这一方法就是数论研究中很重要得方法技巧之一,先后被费马、欧拉、拉格朗日、勒让德多次使用。还有费马关于平方与数得上述两个命题先后也被欧拉与拉格朗日证明,拉格朗日还在１766 年证明了佩尔方程得存在性。总而言之，18 世纪得数论虽然就是一些零星分散得结果与不完整得记录,但就是给后来得数论整理与研究提供了大量得信息资源。[4] ２、 代数数论

　2 2 、1 1 代数数论得基础

　在 1８世纪就要结束得时候,数学家们以为数论研究走到山穷水尽得时候，数学史上一位数学天才高斯诞生了,她让数论进入了一个全新得时代，还有继高斯之后得库莫尔，高斯与库莫尔对于二次域与分圆域所做得深刻研究，成为用深刻代数工具研究数论问题得奠基性工作,由此产生了代数论,这时世界数论中心也由法国转到了德国。最开始高斯就是从这样一个例子引发研究得，例如都就是整数,并且能被整除,那么这时就说与关于模就是同余得,高斯将这一事实记为(mｏd），它也称为同余式。对于模相同得同

　余式,可以像等式那样来处理。再比如 a≡b 与可以得出：

　(ｍod) 显然,我们也可以求包含未知量得同余式得解，例如，求得值使它满足（ｍod12）、这个同余式方程没有解,因为就是奇数，12 就是偶数,所以不可能被１2 整除。

　高斯特别研究了≡(ｍod)(其中就是素数,不就是得倍数)这种同余式方程.如果它有解,就称就是得二次剩余,否则称就是得二次非剩余。关于二次剩余与二次非剩余,于此有一个定理与之相联系，高斯称之为二次互反律：

　设与时两个相异得奇素数，如果乘积()()就是偶数,则当且仅当(mｏd）有解时，(mｏｄ)有解；如果上述乘积就是奇数,则当且仅当(mod)无解时，(mｏd)有解。利用勒让德后来引入得一个记号():

　还可以表示成以下形式:

　高斯非常欣赏这个定律，并把它誉为“算术中得宝石”,而且在她得一生中至少给出过二次互反律 8 个不同得证明．高斯在证明了二次互反律之后,试图将它推广到三次与四次互反律,但她之后发现为使三次与四次剩余得理论简单、优美,就必须超出通常得整数范围,引进复整数，即形如,其中就是整数得复数.对于复整数可以像处理普通数那样讨论它得数论性质。比如：在普通整数数论中,可逆元素 1 与-１,复整数论中得可逆元素则就是与.一个复整数如果不能分解为除可逆元素及其本身以外得复整数得乘积，就称为一个复素数.因此，在复整数论中,由于,所以它不再就是一个素数，但3 仍就是一个素数。另外，在普通数论中，有一个重要得算术基本定理,即每一个整数都可以唯一地分解为素因子得乘积．高斯发现,如果不把四个可逆元素作为不同得因数，那么这个定理对于复整数也就是成立得,为此高斯得复整数理论又开辟了数论得一个新天地。[5]

　２、２代数数论得发展

　 在高斯之后库默尔也对代数数论做出了很大贡献,她得工作与证明费马大定理相关。在费马大定理中，如果就是任一大于２得整数,则方程不存在满足得整数解。

　库默尔得做法就是去考虑了,就是奇素数得时候，因为费马大定理可以归结为与两种情况,而=4 费马本人已经证明。库默尔把写成，并将等式右边分解成一次因式得乘积: ， 其中 ζ 就是一个次本原单位根，也就就是方程：

　得一个根。这就引导库默尔将高斯得复整数理论推广到形如:

　得数,其中每个都就是普通整数。库默尔在 1844—1８4７年间又创立了理想数得理论,后来德国数学家戴德金又把库默尔得工作系统化并将其推广到一般得代数数域,从而创立了现代代数数得理论。

　如果一个数就是整系数代数方程：

　得根，但不就是次数低于得这种方程得根,就称它就是一个次代数数,假如,则称就是一个次代数整数.戴德金引入得一个重要概念就是数域,一个数域就是这样一些实数或复数组成得集合,其满足一下条件: 如果,则。

　可知全体代数数得集合形成一个域，但就是作为代数数论研究对象得代数数域则就是指这个域得一个子域,其可以瞧作就是由有理数域添加进有限个代数数扩充而成．在将代数数得概念一般化后,戴德金就用了一种不同于库默尔得做法来重建代数数域中得唯一因子分解定理，她引进了代数数来代替理想数。之后还有狄利克雷在此理论基础上也加以完善，到了 1898年,德国大数学家希尔伯特在中对于各种代数数域得性质加以系统总结与发展,经过整整１０0 年,经典代数数论由此定型。[6]

　3 3 、解析数论

　３、1 1 解析数论得基础

　19 世纪，数论得到了重大得进步,其主要标志就是深刻得解析方法与代数工具引入数论当中，产生了数论得两个新分支:解析数论与代数数论.解析数论就是利用数学分析主要就是复分析得方法来解决数论问题得,就是使用数学分析作为工具来解决数论问题得分支。数学分析就是以函数作为研究对象得、在极限概念得基础上建立起来得数学学科。用数学分析来解决数论问题由欧拉奠基，俄国数学家车比雪夫等也对它得发展做出过贡献。解析数论就是解决数论中艰深问题得强有力得工具。比如，对于“质数有无限多个”这个命题，欧拉给出了解析方法得证明,其中利用了数学分析中有关无穷级数得若干知识。二十世纪三十年代，苏联数学家维诺格拉多夫创造性得提出了“三角与方法”，这个方法对于解决某些数论难题有着重要得作用。中国数学家陈景润在解决“哥德巴赫猜想"问题中也使用得就是解析数论得方法。而解析数论得创始人为德国数学家黎曼,不过其发展源头要上溯到欧拉.早在 1737 年,欧拉在研究无穷级数与无穷乘积得收敛性时,发现对于大于１得实数 s,有等式:

　( ＊ ) 其中无穷乘积中就是所有素数。事实上,这个等式等价于算术基本定理,这就把数论与解析公式——级数联系在一起了，若取,由于上式左边就是发散得,可知右边得素数有无限多个,这就是由解析特性推出数论结果得最简单得例子。狄利克雷也沿用这种方法，构造出了一批新得函数 L,从它们得解析特性得到了不平凡得结果:若与为互素得正整数,则算术级数中一定有无限多个素数。

　1８59 年,黎曼发表了一篇关于不大于 ｘ 得素数个数 π ( x ）得著名论文——《论不大于一个给定值得素数个数》,这就是她在数论方面公开发表得惟一得文章。她把恒等式(*)得右边得级数记作 ζ ( s ），所不同之处就是把 ｓ 瞧作复变数。现在称 ζ （ ｓ )为黎曼 ζ 函数。她认为素数性质可以通过复变函数 ζ ( ｓ ）来探讨,并对复变函数 ζ ( s ）做了深刻得研究，得到许多重要结果.特别就是她建立了一个与 ζ （ s )得零点有关得表示 π ( x )得公式.因此研究素数分布得关键在于研究复变函数 ζ ( s ）得性质,特别就是 ζ ( s )得零点性质.这一杰出得工作,就是

　复变函数论得思想与方法应用于数论研究得结果.黎曼开创了解析数论得新时期,也推动了单复变函数论得发展.在文章中她提出了一个猜想: ζ ( s )得所有复零点都在直线 Re s ＝1/2 上，这就就是所谓黎曼猜想。它就是至今没有解决得最著名得数学问题之一.它得研究对解析数论与代数数论得发展都有极其深刻得影响。

　［7]

　 3 3 、２解析数论得发展

　18９6 年,阿达马与瓦莱、普桑根据黎曼得方法与结果，应用整函数理论，终于证明了素数定理,从此解析数论开始得到迅速发展，并成为二十世纪最为活跃得数论分支之一。在数论中应用分析方法,大致有两种情况:一就是数论问题本身不涉及分析概念,这类问题又可分为两种情形，或者有一些问题不应用分析方法就不能解决,例如,上述得狄利克雷得两个工作、三素数定理(见数论、堆垒数论)、华林问题;或者有一些问题应用分析方法可使证明简单、可以对问题做定量研究，例如,应用母函数法对整数分拆得一些恒等式得证明、欧拉证明素数有无穷多个得分析方法导致 H、默滕斯证明了关于素数平均分布得三个定理、堆垒数论得许多问题引入分析方法证明解得存在性，得出解数得渐近公式或上下界估计。二就是数论问题本身必须用分析概念才能表达清楚。例如,关于素数定理,即不大于得素数个数等于多少得问题。此外,利用分析概念还可提出新得数论问题，例如各种数论函数得阶估计及均值估计。

　解决一个数论问题需要用到多深得分析工具，或者能否不用分析工具,这也就是数学家努力为之探索得问题.例如，在1949 年 A、赛尔伯格与 P、爱尔特希不利用函数,且除了极限与对数得性质外,也不需要其她得分析知识,给出了素数定理一个十分初等得分析证明，当然它就是很复杂得。

　［8]

　中国现代数论研究始于杨武之,她就是美国著名数论专家狄克逊得学生，专攻堆垒数论难题,证明了将正整数表为 9 个某种类型得三次多项式之与，１9２8 年获博士学位。回国后任清华大学教授,并代理过算学系主任。

　华罗庚于１9３1 年到清华大学工作后曾听过杨武之得“群论”课，并跟杨武之学习数论。她受杨武之得指导，学习与研究哈代与李特尔伍德有

　关堆垒数论崭新得分析方法—圆法,自 193４年起开始发表以数论为主要内容得研究论文。１93８年解决了任意多项式,系数为整数得一般完整三角与得最佳估计，为推进华林问题得解决提供了有效得工具。华罗庚关于三角与得积分平均估计被称为“华氏不等式”，她关于维诺格拉多夫方法得改进与简化工作影响也很大。1９４0 年华罗庚完成专著《堆垒素数论》（１９47年俄文版,195３年中文版）,系统总结与发展了圆法与三角与估计法,其主要结果长期居世界领先地位。她得另外两本著作《数论导引》(１957）与《数论在近似分析中得应用》（19７8，与王元合作，其中得结果被称为“华一王方法”）分别成为数学教学与数学应用得优秀读本。

　华罗庚培养了一批颇有成就得学生。其中阂嗣鹤于 194０年随华罗庚研究数论,后赴英国深造，1９４7 年获牛津大学博士学位，1948 年回国,先后执教于清华大学与北京大学。194９年以后华罗庚与阂嗣鹤在中国科学院数学研究所领导一个讨论班,先后参加得有陈景润、王元、潘承洞等人,形成中国解析数论学派得鼎盛时期。讨论班主要研究数论,特别就是哥德巴赫猜想,王元于 1957 年证明了｛2，3｝，1９62 年潘承洞证明了｛１,５}，同一年王元与潘承洞证明了{1,4}。1９６6 年陈景润发表｛1,2｝得证明报告，1973 年发表证明全文，成为迄今为止得最好结果．中国解析数论学派为中国现代数学得发展起了重要得推动作用,影响深远。

　4 4 、结语

　数论就是数学中最古老得一个学科。不过长期以来, 数论一直就是以纯粹数学得身份出现在数学得大家庭中得, 以至于后来很多数学家包括许多著名数学家(如Harｄy、Dickｓon 等)都对数论得纯粹性与优美性津津乐道, 而对其应用性却忽略不计甚至极力抵制。当然， 随着计算机科学与信息技术得深入发展， 数论得这种纯粹性与无应用性得面貌已经得到了大大得改观。今天, 数论已经在很多领域中有着广泛而深入得应用,数论一方面大量地应用着其它数学领域中得研究成果与工具, 比如分析、几何、代数、概率、组合等领域中得很多艰深理论与有力工具， 并由此产生出一批新兴得边缘学科, 如解析数论、几何数论、代数数论、概率数论、组合数论, 算术代数几何以及计算数论等等。另一方面, 也

　就是重要得一个方面, 就是数论能将它本身得大量研究成果广泛而深入地应用到包括数学在内得其它许多领域中。如计算、密码、物理、化学、生物、工程、声学、电子、通讯甚至音乐等领域中,并由此产生出一门全新得应用数学学科—-应用数论。所以, 在今天, 数论已不再仅仅就是一门纯粹学科， 而且也就是一门名副其实得应用学科。从数论在目前得发展趋势与应用情况来瞧, 数论这个古老得学科必将老当益壮, 焕发出新得青春与活力， 并将重登数学皇后得宝殿! 如今数论在计算机科学与密码学中, 尤其就是在网络与信息安全中得应用与在计算机科学与密码学中得应用得更多。［9］ 参考文献

　[１] 李金宝,晏燕雄、关于初等数论发展史一些研究［J]、重庆第二师范学院学报,2０13(5）、 ［2] J·卡兹、数学史通论[Ｍ］、李文林，邹建成,胥鸣伟等译、北京：高等教育出版社，２0０4、 ［3］ 李文林、数学史教程[M］、北京：高等教育出版社,20００、 ［4] H·伊夫斯、数学史概论[M］、欧阳降译、哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社，200９、 李迪、中国数学通史:宋元卷[M]、南京:江苏教育出版社,１999、 ［5]梁宗巨、世界数学通史[M]、沈阳：辽宁教育出版社，19９６、 [6] 张弘泉、解析数论研究专著［Ｍ］、哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社,2011、1２、 [７]米道生,陈天然,李建才等、数学分支巡礼［M]、北京:中国青年出版社,１983:３7-5３、 ［8]潘承洞,潘承彪、代数数论[M]、哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社，2０11、 [9］闵嗣鹤，严士健、初等数论［M］、北京：高等教育出版社，２0０0、

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