人大版《精算模型(第3版)》习题解答完整版
发布时间:2020-11-05 来源: 党课讲稿 点击： 
第 一 章习题 答案 1、 参数 1 / ? ? ? 的指数分布 2、48 3、0.00888889 4、34.29，72.83 5、 99499 6、49980.76
7、97.5 8、3996,5605 9、974.567 10、（1）1X趋于有比2X更多的正数阶矩。
（2）两个概率密度函数的比值1 2/ f f 会趋于无穷。
（3）1X 的危险力函数比2X 的危险力函数增长速度更快。
（4）
的平均剩余寿命比 的平均剩余寿命增长更快 11、Loglogistic 分布只有正数阶矩，而伽马分布都有，所以 Loglogistic 分布与伽马分布有更厚的尾部。。
Paralogistic 分布只有正数阶矩，而对数正态分布都有，所以 Paralogistic 分布比对数正态分布有更厚的尾部。
逆指数分布没有 1 k ? 的 k 阶矩，而指数分布都有，所以逆指数分布与指数分布有更厚的尾部。。
12、 证明：单参数帕累托分布的危险力函数用下面的公式很容易计算， ? ?? ?ln d S xh xdx? ?
即， ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?ln ln lnln2S x xd S xdx x 这是一个递减的函数。
对于伽马分布，注意到 ? ?? ?? ?? ?? ?01xf t dt f x y dyh x f x f x? ??? ?? ?， 因此当 y 给定时，若 ? ? ? ? / f x y f x ? 对于 x 递增，则 ? ? 1/h x 对于 x 递增，也就是说，随机变量的危险率函数是递减的。对于参数 2 ? ? ， 500 ? ? 的伽马分布， 1X2X
? ?? ?? ?? ?1//5001 /1x yyxf x y x y e yef x x e x??? ??? ??? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?， 因此 ? ? h x 对于 x 是严格递增的,这是一个薄尾分布。
第 一 章习题解答 1. X 服从一个参数为 ? 和 ? 的双参数帕累托分布，已知：
ln 1XY?? ?? ?? ?? ?
求 Y 的分布。
解：
? ?? ? ? ? ? ?? ?ln 11111111yyyY Xyyyxyxex eF y F eeee????????? ????? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?
所以 Y 的分布是一个参数 1 / ? ? ? 的指数分布 2. 已知：（1）
X 服从均值为 2 的指数分布；（2）1.5Y X ? ；计算2[Y ] E
解:使用2 3Y X ? 的代换来计算指数分布的三阶距更为简单。
? ?3 3 33! 6 2 48 E X ? ?? ?? ?? ? 3. X 服从一个参数为 2.5 ? ? 和 10 ? ? 的伽马分布。
1 / Y X ? ，计算 ? ? Var Y
解：我们来计算 E Y ? ?? ? 和2E Y ? ?? ?，或者1E X?? ?? ?和2E X?? ?? ?，注意到 TABLE 中用于伽马分布整数阶距计算的公式 ? ? 1k kE X k ? ? ? ?? ?? ?? ?。这个公式值提供了当 k 是一个正整数的情况，所以不能够用来计算-1 和-2 阶矩。由此，我们必须使用 TABLE 中更为一般化的公式， ? ?? ?kkkE X? ??? ??? ?? ?? 对于 1 k ? ? ，即为
? ?? ? ? ?1111kE X? ?? ? ??? ??? ??? ?? ? 因为 ? ? ? ? ? ? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ，对于 2 k ? ? ， ? ?? ?2211 2E X? ? ???? ?? ?? ? 所以， ? ?? ? ? ?221 10.0088888910 1.5 10 1.5 0.5Var Y? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? 4. 损失服从一个均值为 10 和方差为 300 的帕累托分布。计算风险水平为 95%和 99%时的VaR。
解：设 X 为损失变量，我们通过他的两阶矩来计算参数 ? 和 ? ， E X 101??? ? ? ?? ??
? ?? ?222E 4001 2X?? ??? ??? ?? ?
用第一个公式除以第二个，得 ? ?2 14, 32????? ?? 将上述结果带入一阶矩的式子，得 20 ? ? ，帕累托分布的 95%分位数满足 ? ? S x 0.05 ?
? ?3S x 0.05x??? ?? ?? ??? ?
0.9534.29 VaR x ? ?
类似的，99%的分位数满足 ? ? S x 0.01 ?
0.9972.83 VaR x ? ?
5. 损失服从一个 1000 ? ? 的指数分布，计算 99%的在险价值 解：我们设 99%分位数的在险价值为 x ，则， 1000/0.99, 99499xe x?? ?
6. 某家保险公司的理赔损失服从一个由两个占同样比重的帕累托分布组成的混合分布，第一个帕累托分布的参数 1 ? ? 、 1000 ? ? ，第二个帕累托分布的参数 2 ? ? 、1000 ? ? ，计算这个混合分布 99%分位数的在险价值。
解：我们需要计算 99%的在险价值，这个混合分布的生存函数是两个生存函数的加权平均数，
在分布函数为 0.99 是生存函数为 0.01，设 x 为 99%的分位数， ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?21000 1000S 0.5 0.5 0.011000 1000xx x 为了方便，设 ? ? y 1000 / 1000 x ? ? ， 20.5 0.5 0.01 y y ? ?
1 1 0.08y 0.019615242? ? ?? ?
因为 y 必须为正数，所以我们拒绝了方程的负数解。
10000.019615241000 x?? 1000x 1000 49980.760.01961524? ? ?
7. X 是一个在0,100 ? ?? ? 上的均匀分布，计算? ?0.95TVaR X 解：我们通过方程的方式来解决，对于 X ，100 p th 的分位数为 100 p， 所以，
? ?10.950.95100 ?50 45.12597.51 0.95 0.05ydyTVaR X?? ? ??? 然而，这个结果是很直观的，对于在一个给定的均匀分布 95 和 100 之间的条件期望就是它的中间点。
8. X 服从一个均值为 1000 的指数分布，计算 ? ?0.95TVaR X 和 ? ?0.99TVaR X 。
解：使用公式， ? ?0.951000 1 ln 0.05 3996 TVaR ? ? ?
? ?0.951000 1 ln 0.01 5605 TVaR ? ? ?
9. X 是一个用来表示损失的随机变量。
X 服从一个参数为1000 ? ? ，2 a ? ,1 b ?的贝塔分布。计算 ? ?0.90TVaR X 。
解：这个贝塔分布的密度函数为 ? ?22 / 1000 ,0 1000 f x x x ? ? ? 。首先我们计算 90%的分位数， ? ?22020.9, 1000 0.91000 1000xudu xF x x? ?? ? ? ?? ?? ?? 超出 1000 0.9 x ? 的部分为，
? ? ? ?100020.90 221 97.45671000xu dup TVaR X ? ? ?? 除以 1 0.1 p ? ? ，我们得到 974.567。
同样的结果可以通过方程解出， ? ?2, 10001000xF x p x p? ?? ? ?? ?? ? 整合可得， ? ? ? ?? ?3/210.90.92000 1 0.91 10003p TVaR X ydy?? ? ?? 10. 对于服从分布1F，概率密度函数为1f的随机变量1X与服从分布2F，概率密度函数为2f的随机变量2X，如何判断两种分布的尾部。
解：（1）1X趋于有比2X更多的正数阶矩。
（2）两个概率密度函数的比值1 2/ f f 会趋于无穷。
（3）1X 的危险力函数比2X 的危险力函数增长速度更快。
（4）
的平均剩余寿命比 的平均剩余寿命增长更快 11. 使用合适的指标比较下列分布的尾部：（1）Loglogistic 分布与伽马分布； （2）Paralogistic 分布与对数正态分布（3）逆指数分布与指数分布 解：Loglogistic 分布只有正数阶矩，而伽马分布都有，所以 Loglogistic 分布与伽马分布有更厚的尾部。。
Paralogistic 分布只有正数阶矩，而对数正态分布都有，所以 Paralogistic 分布比对数正态分布有更厚的尾部。
逆指数分布没有 1 k ? 的 k 阶矩，而指数分布都有，所以逆指数分布与指数分布有更厚的尾部。。
12. 已知 X 的密度函数为 ? ? f x ， ? ?3500000 / f x x ? ， 500 x ? （参数 2 ? ? 的单参数帕累托分布）， Y 的密度函数为 ? ? g y ， ? ?/500/ 250000yg y ye ? ? （参数2 ? ? ， 500 ? ? 的伽马分布）。证明基于危险力检验， X 比 Y 厚尾。
解：单参数帕累托分布的危险力函数用下面的公式很容易计算， ? ?? ?ln d S xh xdx? ?
即， 1X2X
? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?ln ln lnln2S x xd S xdx x 这是一个递减的函数。
对于伽马分布，注意到 ? ?? ?? ?? ?? ?01xf t dt f x y dyh x f x f x? ??? ?? ?， 因此当 y 给定时，若 ? ? ? ? / f x y f x ? 对于 x 递增，则 ? ? 1/h x 对于 x 递增，也就是说，随机变量的危险率函数是递减的。对于参数 2 ? ? ， 500 ? ? 的伽马分布， ? ?? ?? ?? ?1//5001 /1x yyxf x y x y e yef x x e x??? ??? ??? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?， 因此 ? ? h x 对于 x 是严格递增的,这是一个薄尾分布。
第 二 章习题 答案 1、4% 2、0.099 3、12.5 4、35，50%，52.5 5、1.435 6、119.71 7、1.115 8、58.3 9、324, 5.82% 10、1.94 11、0.436 12、0.8 13、6 14、0 15、990944 16、0.13 17、2000 18、0.625 19、175 20、 ( 40) 0.25( 60) 0.75( 80) X X X? ? ?? ? ? ? ?( 40) 0.25[ ( 60)] 0.75[ ( 80)] X X X X X X ? ? ? ? ? ? ? ? ?0.75( 80) 0.25( 60) ( 40) X X X ? ? ? ? ? ?
第 二 章习题解答 1、 假设某险种在 2019 年的实际损失额服从离散分布， ( 1000 ) 1/6, 1, ,6 P X k k ? ? ? 。保单上规定每次损失的免赔额为 1500 元。假设 2019-2020 年的通货膨胀率为 5％，2020年的免赔额提高为 1600 元，求 2020 年的每次赔偿的理赔额期望是多少。与 2019 年相比，增长率是多少？ 解答：由 X 的分布计算得到：
? ?1(1 2 3 4 5 6) 1000 35006E X ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?1 51500 1000 1500 1416.6676 6E X ? ? ? ? ? ?
1600 1 5 16001000 1436.5081.05 6 6 1.05E X? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? 2019 年的每次事故的理赔额期望为 ? ?? ?? ? ? ?? ?20091500 3500 1416.667250011 150016XE X E XE YF? ? ?? ? ??? 2020 年的每次事故的理赔额期望为
? ?? ?? ?? ?201016001.051.05 3500 1436.508 1.0526001 16001 16 1.05XE X E XE YF? ? ? ?? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ?2010200926001.042500E YE Y? ?
故增长率为 4%
2、 假设某险种的实际损失额 X 的分布函数为0.2( ) 0.04xf x xe ? ? ， 0 x ? 。已知免赔额为 30，求每次损失事故中的平均赔付额??(?? ?? )。
解答：
【方法一】
由 X 的密度函数知，X 服从参数 2, 5 ? ? ? ? 的伽马分布。
? ? 5 2 10 E X ? ? ? 由伽马分布的性质知
? ? ? ? ? ? 30 2 5 3;6 30 1 2;6 E X ? ? ? ? ? ?? ? ?? ?
其中 ? ?626063;6 1 1 25!jjeej???? ? ? ? ?? ? ? ? ?6 62;6 1 1 6 1 7 e e? ?? ? ? ? ? ?
故 ? ? ? ? ? ?630 2 5 3;6 30 1 2;6 10 40 E X e ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? 又 ? ? ? ?630 2;6 1 7XF e ? ?? ? ?
故每次损失事件赔付额的期望为 ? ? ? ? ? ?* 6 630 10 (10 40 ) 40 0.099 E Y E X E X e e? ?? ? ? ? ? ? ? ?
【 方法二】
若不熟悉伽马函数的性质，则先计算 0.2 0.20( ) 0.04 1 (0.2 1)xx xF x xe dx x e? ?? ? ? ?? 30 30 300.2 0.2 60 0 0( 30) (1 ( )) 0.2 10 40x xE X F x dx xe dx e dx e? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? 故每次损失事件赔付额的期望为 ? ? ? ? ? ?* 6 630 10 (10 40 ) 40 0.099 E Y E X E X e e? ?? ? ? ? ? ? ? ?
3、 设某险种的实际损失额为 X ， ( ) 500 E X ? 。当免赔额为 d 时，投保人的损失消失率为: [ ]( )[ ]E X dLER dE X??
当 d＝200 时，已知 (200) 25% LER ? 且 ( 200) 0.4 P X ? ? 。求 ( | 200) E X X ? 。
解答：
由 ? ?? ?? ?200200E XLERE X?? ，及 ? ? 500 E X ? 得 ? ? 200 125 E X ? ? 又因为
[ 200] [ 200| 200] ( 200) [ 200| 200] ( 200)0.6 [ 200| 200] 0.4 [ 200| 200]0.6 200 0.4 ( | 200)125E X E X X P X E X X P XE X X E X XE X X? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??
故 ( | 200) E X X ? ＝12.5
4、 假设某险种的实际损失额的分布满足下面的性质: x
( ) F x
( ) E X x ?
5 0.5 3 10 0.6 6 15 0.7 7.7 22.5 0.8 9.5 32.5 0.9 11 ?
1 20 （1）已知免赔额为 10，求理赔额的期望。
（2）现将免赔额提高到使得 ( ) 0.5 ( 10) P X d P X ? ? ? ? ，求理赔额提高的比例。
（3）若明年的通货膨胀率为 50％，免赔额为 15，求理赔额的期望。
：
解答：（1）由表中的数据得 ? ? ? ? 20 E X E X ? ?? ? ? ? 10 6 E X ? ? ? ? 10 0.6XF ?
故理赔额的期望为 ? ?? ? ? ?? ?10 14351 10 0.4XE X E XE YF? ?? ? ?? （2）因 ? ? 10 0.4 P X ? ? ，故 ? ? 0.2 P X d ? ?，即 22.5 d ?
? ?? ? ? ?? ?"22.5 20 9.552.51 22.5 1 0.8XE X E XE YF? ? ?? ? ?? ?
理赔额提高比例：52.51 50%35? ?
（3）若明年的通货膨胀率为 50％，则明年理赔额的期望等于
? ? ? ?? ?1520 ( )10 141.5( ) 1.5 1.5 1.5 52.5151 10 0.41 ( )1.5XE XE X E XE YFF? ?? ?? ? ? ? ???
5、 已知某险种的实际损失额的分布为对数正态分布, 5 ? ? 和 2 ? ? ，每年平均有 10 起损失事件发生。已知今年免赔额为 1500 元。若明年的通货膨胀为 20％，免赔额保持不变。明年平均将会有多少起理赔事件发生？ 解答：
由题意知? ?2ln ~ 5,2 X N ，则 ? ? ? ?? ?? ?1.2 1500 ln ln1500 ln1.2ln 5 ln1500 ln1.2 52 2[ 0,1 1.065]1 1.0650.1435P X P XXPP N? ? ? ?? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ??? 故 ? ? 0.1435 10 1.435 E N ? ? ?
6、 假设某保险的损失额服从指数分布：
1501( )150xXf x e??
保单规定免赔额为 100 元，赔偿限额为 1000 元，比例分担系数为 0.8。计算 ( ) E Y 和*( ) E Y
解答：
X 的分布函数为150( ) 1xF x e?? ? ，由公式 1500( ) (1 ( )) 150(1 )xdE X d F x dx e?? ? ? ? ?? 得 ? ?? ?100 150100 150 1 72.987 E X e?? ? ? ?
? ?? ?1000 1501000 150 1 149.809 E X e?? ? ? ?
故每次损失事件的实际平均赔付额 ? ? ? ? ? ? ? ?*1000 100 0.8 149.809 72.987 61.46 E Y E X E X ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 每次赔偿事件的实际平均理赔额
? ?? ?? ?*100 15061.46119.711 100XE YE YFe?? ? ??
7、 某险种保单在 2019 年的损失额 X 满足下面的分布性质：
2( ) 0.025 1.475 2.25, 10,11,12,...,26 E X d d d d ? ? ? ? ? ?
假设 2020 的保单损失额比 2019 年提高 10％。保单规定赔偿高于免赔额 11 的全部损失，最高的赔偿金额为 11。计算 2020 年的平均理赔额与 2019 年平均理赔额之比。
解答：
设 X 表示 2019 年的损失额，Y 表示 2020 年的每张保单的赔付额。由保单规定赔偿高于免赔额 11 的全部损失，最高的赔偿金额为 11 知 0, 1111, 11 22 ( 22) ( 11)11, 22XY X X X XX? ??? ? ? ? ? ? ? ????? 则 2 2( ) ( 22) ( 11)( 0.025 22 1.475 22 2.25) ( 0.025 11 1.475 11 2.25)(18.10 10.95)7.15E Y E X E X ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? 在 2020 年，由于 2020 的保单损失额比 2019 年提高 10％，但免赔额和最高赔偿金额没有变化，因此 2020 年的保单赔付额可以表示为 0, 1.1 11" 1.1 11, 11 1.1 22 1.1[( 20) ( 10)]11, 1.1 22XY X X X XX? ??? ? ? ? ? ? ? ????? 2 2( ") 1.1[ ( 20) ( 10)]1.1[( 0.025 20 1.475 20 2.25) (0.025 10 1.475 10 2.25)]1.1(17.25 10)7.975E Y E X E X ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? 因此，2020 年的每张保单的平均赔付额与 2019 年的平均赔付额之比为 7.7957.15= 1.115
8、 设某险种一张保单的实际损失的分布函数为：
0.02( ) 0.02(1 0.02 ) , 0xf x q q x e x?? ? ? ? ?
假设保单规定免赔额为 100，则理赔额的期望为 200。若免赔额提高到 200，理赔额的期望等于多少？ 解答：
由损失的分布密度函数知，X 的分布由指数分布和伽马分布混合而成的分布，即
0.02 2 0.02( ) (1 )(0.02 ) (0.02 )x xf x q e q xe? ?? ? ?
X 的分布函数为 0.02 0.020( ) ( ) 1 (1 ) (0.02 1)xx xF x f y dy q e q x e? ?? ? ? ? ? ?? 对于免赔额 d，理赔额 Y＝ | X d X d ? ? 的分布密度函数为
0.02( )0.02 0.020.020.02 2 0.02( )( )1 ( )0.02(1 0.02( )) , 0(1 ) (0.02 1)0.02(1 0.02( ))(1 ) (0.02 1)1 0.020.02 (0.02)(1 ) (0.02 1) (1 ) (0.02 1)Yx dd dxx xf x df xF dq q x d e xq e q d eq q x d eq q dq qd qe xeq q d q q d? ?? ??? ????? ? ? ??? ? ?? ? ??? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? Y 的分布由指数分布和伽马分布混合而成的分布。当 d＝100 时， 160 50 1001 1qq q? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? 解得 1/4 q ?
当 d＝100 时，有 1 0.02( ) 50 100(1 ) (0.02 1) (1 ) (0.02 1)1 250 1001 2 1 235058.36q qd qE Yq q d q q dq q qq q? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ＝
9、 设某险种在 2019 年的每份保单损失为 X，对 0 1000 d ? ? ，有下列关系式成立：
2[ ] (2000 )/2000 E X d d d ? ? ?
若保单规定保险人支付损失超过 100 元部分的 80％，保单限额为 1000 元。
（1）每张保单的平均赔付额是多少。
（2）假设 2020 年该险种的每份保单损失提高 5％，每份保单的平均支付额相应提高多大比例。
解答：
（1）设*Y 表示保单的赔付额，由题意得，
? ?*0 1000.8 100 100 10000.8 900 720 1000xY x xx? ??? ? ? ???? ? ?? 故 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?*0.8 1000 1000.8 1000 1000.8 500 95324E Y E x xE x E x? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? （2）2020 年赔付额的期望为 ? ?? ? ? ?? ?*20100.8 1000 1.05 1.05 1001000 1000.8 1.051.05 1.050.84 498.866 90.703342.857E Y E x xE x E x? ? ?? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ??
与 2019 年相比提高的比例为 342.857 324100% 5.82%324?? ?
10、已知如下条件：
（1）损失服从对数正态分布，参数为 5, 2 ? ? ? ? ； （2）免赔额为 1000； （3）每年预计的损失次数为 10 次； （4）损失次数与个体损失额互相独立。
如果所有的个体损失额都提高 20%而免赔额不变，求每年超过免赔额的平均损失次数。
解答：设损失额为 X，则 lnX 服从参数 5, 2 ? ? ? ? 的正态分布。故 ? ? ? ?? ?? ?1.2 1000 ln ln1.2 ln1000ln ln1000 ln1.2ln 5 ln1000 ln1.2 52 2ln1000 ln1.2 5121 0.8630.194P x P xP xxP? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ??? ?? ??? 故每年超过免赔额的平均损失次数为
( ) 0.194 10 1.94 E N ? ? ?
11、损失额服从威布尔分布，参数 2 ? ? ， ? 未知。一个保险人设定保险限额为 100 元。已知 50%的损失事件的损失低于限额 100 元。但由于通货膨胀，所有损失额上升 10%，求损失额仍低于 100 元的损失事件的百分比。
解答：2(100/ )(100) 1 0.5 120xF e???? ? ? ? ?
经过 10%的通涨， Y =1.1 X ，2(100/132)100(100) ( ) 1 0.4361.1y xF F e ? ? ? ? ? 。
我们可知道经过比例变换， Y 仍服从参数 2 ? ? ， ? =132 的威布尔分布。
12、已知（1）损失服从指数分布；（2）今年的损失消失率 LER 为 70%；（3）明年的免赔额是今年的免赔额的 4/3，求明年的损失消失率 LER 。
解答：假设 ? ? E X = ? .根据指数分布的分布可知 ? ? E X d ? = ? (/1de? ?? ).则今年的 LER=//[ ] (1 )1[ ]ddE X d eeE X??????? ?? ? ? ，因此/ de? ?=0.3 明年免赔额为 4d/3,但 X 的分布不变，因此明年的 LER=4 /34 /3 4/3[ 4 /3] (1 )1 1 (0.3) 0.8[ ]ddE X d eeE X??????? ?? ? ? ? ? ?
13、已知随机变量 X ：
P ( X =3)= P ( X =12)=0.5 和 [ ( )]dE I X =3，求 d 。
解答：已知 X 的取值都 ? 3,于是 0 , 0.5( ) [ ( )] (12 )(0.5) 3 612 , 0.5d dX d pI X E I X d dd X d p? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ?
14、损失服从均值为 100 的指数分布，一个保险人正考虑以下两种保险：
（1）免赔额为 20； （2）免赔额为 50； 保险人对每一种保险分别计算了理赔额的偏度系数，分别为1c 和2c ，则2c 比1c 低百分之多少？ 解答：已知指数分布/1( )xxf x e???? ，以及分布/( ) 1xxF x e? ?? ? 。因此pY 的密度为 ( )///1( )( )1 ( ) 1 (1 )py dyxYdxef y df y eF d e?????? ????? ? ?? ? ?，可以看出pY 也是均值为 ? 的指数分布，和
免赔额无关，因此1c =2c ，答案为 0.
15、损失服从均值为 1000 的指数分布，某保险公司设免赔额为 100。求赔付额LY 的方差。
解答：要求 ( 100)LY X?? ? 的方差，即2 2 2[ ] ( [ ])L LE Y E Y ? 。对于一个指数分布，由于无记忆性，理赔额pY 也是服从均值为 ? =1000 的指数分布。同时我们也知道 [( ) ][ ] [ | ]( )LE X dE Y E X d X dP X d??? ? ? ?? 和22 2[( ) ][ ] [( ) | ]( )pE X dE Y E X d X dP X d??? ? ? ?? 因此，由 [ ]pE Y ? ? 和2 2[ ] 2pE Y ? ? 可得 [ ]LE Y = [( ) ] E X d?? = [ ]pE Y * P （X>d）=/ de??? 2[ ]LE Y ?2[( ) ] E X d?? * P （X>d）=22 / de???。由题中 ? =1000 和 d=100，我们有Var (LY )=2 2 2[ ] ( [ ])L LE Y E Y ? =22(1000)100/1000e ? -100/1000 2(1000 ) e ? =990944
16、假设损失随机变量 X 服从均匀分布 U [0，80]，现有两种类型的保险单: （1）免赔额为 10，收取保费为每份保单平均赔付额加上 14.6； （2）全额赔付，收取保费为（1+ k ）。
两个险种所收保费相同，求 k 。
解答：8010( 10)(1/80) 14.6 45.225 40(1 ) 0.13 x dx k k ? ? ? ? ? ? ??
17、一位保险人发现，对于某一种保单，当损失额大于 1000 时，超过 1000 的平均损失额为 500。保险人假设损失服从[0, C ]的均匀分布，其中 C >1000。求 C 。
解答：若损失 X 服从[0, C ]的均匀分布，则条件密度 f(x|X>1000)=( ) 1/1/( 1000),(1000 )[ 100] ( 1000)/f x Cc x CP X c C? ? ? ? ?? ?, 这 说明条件密度是[0,C-1000]上的均匀分布，均值为10002C ?。令10002C ?=500 可得C =2000.
18、2019 年的损失服从 2 ? ? 和 ? =5 的帕雷托分布。2020 年损失比 2019 年总体上升 20%。一份保单免赔额为 10。求 2010 年的损失消失率 LER。
解答：设 X 为 2009 年的损失随机变量，则 2010 年损失为 1.2 X 。2010 年的
LER=10 101.2 [ ] [ ][1.2 10]1.2 1.2[1.2 ] 1.2 [ ] [ ]E X E XE XE X E X E X? ??? ? ， [ ] E X =52 1 ?=5,
10[ ]1.2E X ? =52 1 ?[2 15( )1051.2??]=3.125. 因此 LER=3.125/5=0.625.
19、损失 X 服从帕雷托分布，参数 2 ? ? , ? 未知。
已知：5[ 100| 100] [ 50| 50]3E X X E X X ? ? ? ? ? ；求 [ 150| 150] E X X ? ? 。
解答：帕雷托分布为2( ) 1 1 F xx x?? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?和 [ ]1E X????， 以及1[ ] 1 11E X cc c?? ? ??? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，因为 2 ? ? 。
因此 21100[( 100) ] [ ] [ 100][ 100| 100]1 (100) 1 (100)100E X E X E XE X XF F?? ?????? ?? ?? ?? ?? ??? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ?? ?? ?? ??? ?，最后化简为 100+ ? 。同理， [ 50| 50] E X X ? ? =50+ ? 。由已知条件 100+ ? =（5/3）(50+ ? )，因此 ? =25。
[ 150| 150] E X X ? ? =150+25=175。
20、一份保单对损失额 X 的免赔额为 40。保单还有以下条件：若损失位于区间（40，60 ] ，则赔偿 40 以上的部分；若损失在（60，80 ] ，赔偿 20 加上超过 60 部分的 75%。若损失超过 80，则赔偿 35。假设均匀分布 X 服从 U [0,100]，求一个合适的 u ,用 E [X]和 E [X ? u ]表示赔付额。
解答：由题知0 4040 40 6020 0.75( 60) 60 8035 80LXX XYX XX? ? ?? ?? ? ?? ?? ??? ? ? ?? ?? ??? ?, 0 40( 40) {40 40XXX X??? ?? ? 对于 X<60 成立。如果我们减去 0.25( 60) X?? ，
有 ( 40) X?? — 0.25( 60) X??0 4040 40 60( 40) 0.25( 60) 20 0.75( 60) 60XX XX X X X? ??? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? 如果减去 0.75( 80) X?? ，我们有 ( 40) 0.25( 60) 0.75( 80) X X X? ? ?? ? ? ? ?
0 4040 40 6020 0.75( 60) 60 8020 0.75( 60) 0.75( 80) 35 80XX XX XX X X? ??? ? ??? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ??
这就是赔付额 因此 ( 40) 0.25( 60) 0.75( 80) X X X? ? ?? ? ? ? ?( 40) 0.25[ ( 60)] 0.75[ ( 80)] X X X X X X ? ? ? ? ? ? ? ? ?0.75( 80) 0.25( 60) ( 40) X X X ? ? ? ? ? ?
第 三 章习题 答案 1、0.4695 2、0.29 3、0.938 4、 2, 1.536 r ? ? ? 的负二项分布 5、0.449 6、0.0165160? 平均来说，每六十年会出现一年中有 4 张或以上的保单会发生损失 7、7 8、2.4 9、90（??(??) = 30，??????(??) = 60）
10、191192
11、0.26412 12、5/3
第三章习题 解答 1、已知??(0 < ?? < 1)，N 服从几何分布，且??(?? = 0) = ??，如果 p 服从[0.5,0.9]上的均匀分布，求 ( ) E N 。
解答：几何分布的均值满足1( )q pE Np p?? ? ，其中??服从??[0.5，0.9]
则0.90.90.50.51 1 1( ) (ln ) 0.46950.4 0.4pE N dp p pp?? ? ? ? ? ??
2、对于一个离散分布，有如下特征：
（1）11(1 ) , 1,2,3k kp c p kk?? ? ? ……
（2）00.5 p ?
求 c。
解答：已知11(1 ), 1,2,3kkpc kp k?? ? ? … 即对于（ a , b ,0）分布满足 a 0 b ? ? ,可判断分布为负二项分布，( 1)a , , , 21 1rb a b r? ?? ??? ? ? ?? ?且 则
20(1 ) 0.5, 0.414, 0.291p c?? ???? ? ? ? ? ??解得
3、假设经过旅馆的汽车的数量服从泊松分布，每个小时有 20 辆汽车经过旅馆，其中 30%是卡车，请计算从下午 12 点到下午 1 点间至少有 3 辆卡车经过旅馆的概率。
解答：
解答：经过旅馆卡车数满足参数为λ = 20 ∗ 0.3 = 6的泊松分布满足 ( ) , 1,2,3 0!kkp P N K e kk? ???? ? ? ? ? …，
则，在一个小时内至少三辆卡车经过旅馆的概率为 26 6 66 6( 3) 1 ( 0) ( 1) ( 2) 11 2!0.938P P N P N P N P N e e e? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
4、假设某险种的损失 X 服从帕雷托分布， 3, 1000 ? ? ? ? 即? ?343 1001( )0000 xf x??? 。若保单规定免赔额为 250 元。假设损失次数 N 服从负二项分布， 2, 3 r ? ? ? ，求理赔次数的
分布。
解答：
解答：设理赔次数为?? ∗ 。由已知损失额 X 的分布函数为 ? ?? ?33100011000Fxx ? ??， 因此索赔的概率为 ? ? 250 0.512 v P X ? ? ? 。
则N ∗ 的分布为， ? ? ? ?? ?? ?*22t 1 3 1 0.512 1 1 1 1.536 1Nt t P??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
由上可知，理赔次数服从 2, 1.536 r ? ? ? 的负二项分布。
5、一群人被等分为两个等级的驾驶员。每个驾驶员发生事故的次数服从泊松分布。对于等级一的驾驶员，期望事故次数服从 U [0.2，1]，对于等级二的驾驶员，期望事故次数服从 U [0.4，2]，从这群人里随机抽取一人，求这个人发生事故次数为 0 的概率。
解答：
[ 0] P N ? = [ 0 P N ? |等级一]× P [等级一]+ [ 0 P N ? |等级二]× P [等级二]
[ 0 P N ? |等级一]=1 10.2 0.21P[N 0| ( )0.8If d e d?? ? ? ??? ?? ?等级一, ] =0.5636
[ 0 P N ? |等级二]=2 20.4 0.41P[N 0| ( )1.6IIf d e d?? ? ? ??? ?? ?等级二, ]
=0.3344
[ 0] P N ? =0.5636×0.5+0.3344×0.5=0.449
6、一家保险公司承保 25 份保单，每份保单发生损失的概率为 4%。各保单相互独立。平均每隔多少年会出现一年中有 4 份或以上的保单会发生损失的情况。
解答：在某一年中，发生损失的保单数目服从二项分布 B （25，0.04），一年中有 4 张或以上的保单会发生损失即 [ 4] P N ? =1- [ 0,1,2,3] P N ?
这里 [ 0] P N ? = ? ? ? ?0 25250.04 0.960? ?? ?? ?=0.3604 [ 1] P N ? = ? ? ? ?1 24250.04 0.961? ?? ?? ?=03754， [ 2] P N ? = ? ? ? ?2 23250.04 0.962? ?? ?? ? =01877，[ 3] P N ?
= ? ? ? ?3 22250.04 0.963? ?? ?? ?=0.0600，因此 [ 4] P N ? =1-（0.3604+03754+01877+0.06）=0.0165. 而 0.0165160? ，这个概率可以看作是平均来说，每六十年会出现一年中有 4 张或以上的保单会发生损失。
7、已知负二项分布 r =2.5， ? =5。求使得kp 最大的 k 值。
解答：已知负二项分布属于（ a , b ,0）分布， a =1?? ?, b =( 1)1r ????。代入题中 a =56， b=(2.5 1)56?=54。（a,b,0）分布有1kkp bap k?? ? 。于是15 56 4kkpp k?? ? ，只要1kkpp?>1,即54k>16,求得 k<7.5。当 k=7，76pp=56+54 7 ?=1.012，所以7 6p p ? ；当 k =8，87pp=56+54 8 ?=0.99 因此7 8p p ? 。综上所述，7p 最大， k =7。
8、1000 份保单中发生索赔的保单数服从负二项分布， r =5， ? =0.2，且相互独立。如果保单总数增加到 2000 份，求发生索赔的保单数的方差。
解答：在 1000 份保单总数下，方差为 5 ? 0.2 1.2=1.2。如果增加 1000 份保单，而各份保单是否发生索赔是独立的，那么方差即为原来的两倍，2.4。
这里相当与求两个独立的随机变量 W+U 的方差，所以只要把两者相加即可。
9、已知某险种一年内发生损失的次数服从参数为 20 的泊松分布，每次损失事故中获得理赔的人数服从二项分布 B(3, 0.5)，求一年内获赔的人数的期望与方差之和。
解答：一年内获赔人数 ?? = ∑?? ??????=1 ??(??) = ??(??)??(??) = 20 ∗ 3 ∗ 0.5 = 30 ??????(??) = ??(??)??????(??) + ??????(??)??(??) 2 = 20 ∗ 0.75 + 20 ∗ 2.25 = 60 所以 ??(??) + ??????(??) = 90
10、已知某险种的单张保单理赔次数服从二项分布 B(n, p)，其中 n=5,参数 p 服从区间[0.5,1]上的均匀分布，随机抽取一张保单，求该保单至少发生一次理赔的概率是多少。
解答：
??(?? ≥ 1) = 1 − ??(?? = 0) = 1 − ∫ 2 ∗ (1 − ??) 510.5???? =1192
?
11、已知一个驾驶员每年发生索赔的次数服从参数为λ的泊松分布。假设每个驾驶员的泊松参数λ都不相同，但λ服从[1,5]上的均匀分布。现随机选取一个驾驶员，求其最多发生一次索赔的概率是多少。
解答：
??(?? ≤ 1) = ??(?? = 0) + ??(?? = 1) = ∫14∗ (?? −?? + ???? −?? )51???? = 0.26412
12、设 N 是一随机变量，令 ( )kp P N k ? ? ，如果11 32kkpp k?? ? ? ，计算 ( ) E N 。
解：通过已知条件11 32kkpp k?? ? ? ，可以得出0p 至6p 相互间的关系：
0 1p25p ? ，1 2p p ? ，2 3p21p ? ，3 4p41p ? ，4 5p101p ? ， 0 p 6 ? ， 0 ) 7 ( p n ? ? n ； 所有有意义的kp 和0p 关系可以写为：
0 0p p ? ，0 1p25p ? ，0 2p25p ? ，0 3p45p ? ，0 4p165p ? ，0 5p1605p ? ，0 6p 0 p ? ?
(1) 当随机变量 N 最大取到 6 时， 1 p ... p p6 1 0? ? ? ? ，可以求出24332p 0 ? ，由此得出0p 至6p 的值，可得35) (60? ? ? ?? kkp k N E 。
(2)当随机变量 N 最大取到 5 时， 1 p ... p p5 1 0? ? ? ? ，可以求出24332p 0 ? ，可得35) (60? ? ? ?? kkp k N E 。
(3)当随机变量 N 最大取到 4 时， 1 p ... p p4 1 0? ? ? ? ，可以求出12116p 0 ? ，可得121200) (60? ? ? ?? kkp k N E 。
(4)当随机变量 N 最大取到 3 时， 1 p ... p p3 1 0? ? ? ? ，可以求出294p 0 ? ，可得
2945) (60? ? ? ?? kkp k N E 。
(5)当随机变量 N 最大取到 2 时， 1 p p p2 1 0? ? ? ，可以求出61p 0 ? ，可得45) (60? ? ? ?? kkp k N E 。
(6) 当 随 机 变 量 N 最 大 取 到 1 时 ， 1 p p1 0? ? ， 可 以 求 出72p 0 ? ， 可 得75) (60? ? ? ?? kkp k N E 。
这道题出得不够严谨，没有指出 N 的分布是（a, b,0）分布。在（a, b,0）分布族中，?? 0 的值是指定的。如果没有说明 N 的分布是（a, b,0）分布，则 N 的分布称为（a, b,1）分布，则?? 0是任意满足条件的值，所以导致出现多各答案。
题目修正如下：
设 N 是一个离散随机变量，分布属于（a, b,0）分布族，令?? ?? = ??(?? = ??)，已知?? ???? ??−1= −12+3?? ，?? = 1,2,…。计算( ) E N 的值。
解：由 N 分布属于（a, b,0）分布族，?? ???? ??−1= −12+3?? ，可知?? < 0, 因此 N 的分布是二项分布，?? = −??1−??= −12 , ?? =(??+1)??1−??= 3, 解出?? =13 ,?? = 5,
?? 0 = (1 − ??) ?? = (1 −13 )5= 0.131687
第 四 章习题 答案 1、0.5，6.4167 2、5/12 3、0.4129 4、 ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?1 2211 2 211 20101 102 11 2 1 211sS X Xss x xsx s xs sF s f x F s x dxe e dxe e dxe e? ?? ? ? ?? ??? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ?? ????，0.1992 5、3/4 6、315029B ? ，91.28577a ? ?
7、70000，1072000000，1.3724 8、856 9、 (1 ) ( ) G E S ? ? ? ，1.645 ( )0.0076904( )Var SE S? ? ?
10、74.233 11、0.2451 12、46.13 13、2
第四章习题解答 1、设个体理赔变量 X IB ? ，其中 ( 1) 0.05 P I ? ? ，B 服从[0,20]上的均匀分布，求 ( ) E X和 ( ) Var X 。
解答：
( ) ( ( | )) ( ( ) ) ( ) ( ) 0.05 10 0.5 E X E E X I E E B I E B E I ? ? ? ? ? ?
22( ) ( ( | )) ( ( | ))( ( )) ( ( ))( ) ( ) ( ) ( )10010 0.05 0.95 0.0536.4167Var X Var E X I E Var X IVar IE B E IVar BE B Var I Var B E I? ?? ?? ?? ? ? ? ??
2、某保险人承保了两个保险标的，它们的理赔额随机变量分别为1X 和2X ，1 ~(0,75) X U ，2~ (0,150) X U ，1X 与2X 相互独立。令1 2S X X ? ? ，求 ( 100) P S ? 。
解答：由于1X 与2X 相互独立，1 ~(0,75) X U ，2~ (0,150) X U 。
750 075075201 1( )150 751150 7575 1150 75 150 75 21(75 150)150 4s xP S s dy dxs xdxs xss?? ?? ?? ?? ????? ? ?? ?? ? ? ?? ?? 因此100 1 5( 100)150 4 12P S ? ? ? ? 。
3、考虑 32 张保单，每张保单的理赔概率 p=1/6，在理赔发生的条件下理赔额 B 的密度函数为 2(1 ), 0 1( )0,x xf x? ? ? ?? ??其它
记 S 为理赔总额，用正态逼近计算 P(S>2)。
解答：101( ) 2 (1 )3E B x x dx ? ? ??， 1 1 1( )3 6 18E X ? ? ?
21201 1( ) 2 (1 )3 18Var B x x dx? ?? ? ? ?? ?? ?? 22( ) ( ( | )) ( ( | ))( ( )) ( ( ))( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 113 6 6 18 68324Var X Var E X I E Var X IVar IE B E IVar BE B Var I Var B E I? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? 1 16( ) 32 ( ) 3218 9E S E X ? ? ? ? ，256( ) 32 ( )324Var S Var X ? ? ?
??(?? > 2) = ??( ?? − ??(??)√??????(??)>2 − ??(??)√??????(??) ) = 1 − Φ( 2 −169√ 256324 ) = 1 − Φ(0.25) = 0.4129 4、设 ( )iixX if x e???? ，若 X 1 和 X 2 相互独立， （1）求1 2S X X ? ? 的分布函数。
（2）若1 20.5, 0.75 ? ? ? ? ，计算1 2( 5) P X X ? ? 。
解答：
（1）由卷积公式得 ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?1 2211 2 211 20101 102 11 2 1 211sS X Xss x xsx s xs sF s f x F s x dxe e dxe e dxe e? ?? ? ? ?? ??? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ?? ???? （2）把1 20.5, 0.75 ? ? ? ? 代入上题中的分布函数得 ? ? 5 0.8008SF ?
故 ? ? ? ?1 25 1 5 0.1992SP X X F ? ? ? ? ?
5、设1 2 3, , X X X 是相互独立的随机变量，它们的分布为：
x
1 ( )f x
2 ( )f x
3 ( )f x
0 p 0.6 0.4 1 1－p 0.2 0.3 2
0.2 0.2 3
0.1 设1 2 3S X X X ? ? ? ，已知 (5) 0.03Sf ? ，求 p 的值。
解答：
由卷积公式知 ? ? ? ? ? ?1 2 3 1 2 35 0, 5 1, 4Sf P X X X P X X X ? ? ? ? ? ? ? ?
其中 ? ? ? ? ? ?2 3 2 3 2 35 2, 3 3, 2 0.02 P X X P X X P X X ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?2 3 2 3 2 3 2 34 1, 3 2, 2 3, 1 0.06 P X X P X X P X X P X X ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?故
? ? ? ? 5 0.02 0.06 1 0.03Sf p p ? ? ? ?
解得 3/4 p ? 。
6、某保险人承保两种类别的保单组合。设保单组合类别为 I 和 II，具体资料见下表：
类别 出险概率 理赔额 保单数 I 0.1 B
5000 II 0.3 a B ?
3000 假设总理赔额的期望值为 180000，当 a 和 B 为何值时，总理赔额的方差最小。
解答：设 ,I IIS S 分别为类别 I 和 II 的总理赔额，则 ( ) 0.1 5000 500IE S B B ? ? ? ? ， 2 2( ) 5000 ( ) 5000 0.1 0.9 450I IVar S Var X B B ? ? ? ? ? ? ?
( ) 3000 0.3 900IIE S aB aB ? ? ? ?
2 2 2 2( ) 3000 ( ) 3000 0.3 0.7 630II IIVar S Var X a B a B ? ? ? ? ? ? ?
( ) ( ) ( ) 500 900I IIE S E S E S B aB ? ? ? ?
2 2 2( ) ( ) ( ) 450 630I IIVar S Var S Var S B a B ? ? ? ?
由 ( ) 180000 E S ? 知180000 500 5200900 9BaB B?? ? ? ，代入 ( ) Var S 的表达式得 2 25( ) 450 630(200 )9Var S B B ? ? ?
当315029B ? ，91.28577a ? ? 时，S 的方差最小。
7、某火灾保险公司为 160 栋建筑物承保，下表给出了最高赔款数与相应的保险单数，假设每栋建筑物发生火灾的概率是 0.04 ，而且每栋建筑物发生火灾与否为相互独立事件，且在赔偿发生条件下，理赔额服从 0 到最高赔款的均匀分布， S 为总赔付额，求 （1）
( ) E S , ( ) Var S ； （2）
? 为多少时， ( (1 ) ( )) 99% P S E S ? ? ? ? ? 种类 i
最高赔款额 保单数 1 10000 80 2 20000 35 3 30000 25 4 50000 15 5 100000 5 解答：设1,0I?? ??火灾发生火灾不发生 ，， 1) 0.04 q P I ? ? ? （ 。对最高赔偿额为iA 的第 i 类保单，设iX 为其总理赔额， ( ) ( )ii ii j nX Y Y ? ? ?
其中对每个 i，( ) ,1, ,ij iY j n ? 是独立同分布，设其分布与 IB i 相同， (0, )i iB U A ? ，( )2ii iAu E B ? ? ，22( )12ii iAVar B ? ? ? ，则总赔付额1 2 5S X X X ? ? ? ? ，
5 51 1( )20.04(80 10000 35 20000 25 30000 15 50000 5 100000)270000i ii i i ii in AE S nu q q? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?
52 212 25 51 19( ) ( (1 ) )0.04 0.96 0.044 121.072 10i i i i i i iii i i ii iVar S nu q q n qn A n A??? ?? ? ?? ? ?? ??? ? 由 ( (1 ) ( )) 99% P S E S ? ? ? ? 得：
( ) ( )( ) 99%( ) ( )S E S E SPVar S Var S? ?? ?
由中心极限定理， ( )( ) 99%( )E SVar S?? ?
1( )(0.99) 2.325( )E SVar S??? ? ?
解出：
2.325 ( )1.3724( )Var SE S? ? ? 。
8、某保险人承保了具有如下特征的风险组合：
（1）理赔发生概率为 0.05; （2）理赔发生时，理赔额 B 的分布为 ? ?? ?343 100100Bf xx???. 该保险人的安全附加系数为 0.5。为使总赔付超过总保费的概率为 0.05，保险人至少要承保多少张保单。
解答：? ?3403 100 100( ) 503 1100E B xdxx??? ? ???? ? ? ? ?223 100( ) 75003 1 3 2Var B?? ?? ? 理赔额 X 的均值和方差为 ( ) ( ( | )) ( ( ) ) 50 0.05 2.5 E X E E X I E E B I ? ? ? ? ?
22( ) ( ( | )) ( ( | ))( ) ( ) ( ) ( )50 0.05 0.95 7500 0.05493.75Var X Var E X I E Var X IE B Var I Var B E I? ?? ?? ? ? ? ??
假设保险人承保 n 份保单，则 ( ) ( ) 2.5 E S nE X n ? ? ， ( ) ( ) 493.75 Var S nVar X n ? ? 。
依题意有 ( ) 0.5 ( )( 1.5 ( )) ( )( ) ( )0.5 ( )
1 ( ) 0.05( )S E S E SP S E S PVar S Var SE SVar S?? ? ?? ?? ? 因此 0.5 ( ) 2.51.645 0.5( ) 493.75E S nVar S n? ? ?
n＝855.1。因此保险人至少要承保 856 份保单才使总赔付超过总保费的概率为 0.05。
9、考虑由 10 万张同类医疗保险保单构成的保单组合。假设各保单发生损失相互独立，保单规定保险人将赔付超过 100 的部分损失。设每张保单在保险期内的损失均服从以下分布 x
0 50 100 200 500 1000 ( ) P X x ?
0.3 0.1 0.1 0.2 0.2 0.1 若要求收取的保费总额低于总理赔额的概率不超过 5％，试确定该保单组合的最低安全附加保费。
解答：令 Y 表示每张保单的实际赔付额，则100100 100XYX X? ?? ?? ??0。
则 Y 的分布为 x
0 100 400 900 ( ) P Y x ?
0.5 0.2 0.2 0.1
( ) 100 0.2 400 0.2 900 0.1 190 E Y ? ? ? ? ? ? ?
2 2 2( ) ( ) ( ) 115000 190 78900 Var Y E Y E Y ? ? ? ? ?
设 S 表示总理赔额，1000001iiS Y???， ( ) 100000 ( ) 19,000,000 E S E Y ? ? ?
( ) 100000 ( ) 7,890,000,000 Var S Var Y ? ?
设保费总额 (1 ) ( ) G E S ? ? ? 。根据题意要求，G 应该满足
( (1 ) ( )) 95% P S E S ? ? ? ?
即 ( ) ( )( ) 95%( ) ( )S E S E SPVar S Var S? ?? ?
由中心极限定理， ( )( ) 95%( )E SVar S?? ?
1( )(0.95) 1.645( )E SVar S??? ? ?
解出：
1.645 ( )0.0076904( )Var SE S? ? ? 。
10、某保险人承保 500 份保单，特征如下: 类型 各种类型的保单数目 发生理赔的概率 损失额分布 1 1n
0.01 210, 9 ? ? ? ?
2 500-1n
0.04 23, 1 ? ? ? ?
保险人收取保费为 ( ) ( ) E S Var S ? ，其中 S 为总损失变量。保险人可能收取的最高保费是多少？ 解答：
1 1 12 21 111 1 11 1 11( ) 0.01 10 (500 ) 0.04 3 60 0.02( ) [0.01 0.99 10 0.01 9] (500 )[0.04 0.96 3 0.04 1]192.8 0.6944( ) 60 0.02 192.8 0.69440.6944( ) 0.02 , ( ) 0, 152 192.8 0.6944E S n n nVar S n nng n n ng n g n nn? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??保费令 6.4(0) 73.8852, (500) 73.2379, (156.4) 74.233074.2330g g g ? ? ?故收取的最大可能保费为 。
11、一家诊所里，每天志愿者医生的数目等可能取值 1,2,3,4,5.每位志愿者可以服务的病人数服从均值 30 的泊松分布，用正态近似法求诊所里一天至少有 120 位病人接受服务的概率。
解答：
2 2 2 2 2 22( ) 30( ) 1 0.2 2 0.2 3 0.2 4 0.2 5 0.2 3( ) 30( ) (1 2 3 4 5 ) 0.2 3 2( ) ( ) ( ) 3 30 90( ) ( )[ ( )] ( ) ( ) 2 900 30 3 1890E XE NVar XVar NE S E X E NVar S Var N E X Var X E N?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ( 120) 1 ( 120)( ) 120 ( )( 120) ( ) (0.69) 0.7549( ) ( )( 120) 1 0.7549 0.2451P S P SS E S E SP S PVar S Var SP S? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?
12、某保险人有以下三种寿险：
购买人数 赔付额 死亡概率 100 1 0.01 200 2 0.02 300 3 0.03 对于每一张保单，该保险人购买再保险，自留额为 2.再保险保费为 H，等于再保险的期望赔付加上再保险给付的标准差，该保险人则收取保费 G，等于期望自留赔付加上自留赔付的方差加上 H，求 G。
解答：设 C 为再保险费用，S 为自留额 22 2 2( ) (3 2) 300 0.03 9( ) 300 1 0.03 0.97 8.73( ) ( ) 9 2.95 11.95( ) 1 100 0.01 2 200 0.02 2 300 0.03 27( ) 100 1 0.01 0.99 200 2 0.02 0.98 300 2 0.03 0.97 51.5911.95 27 51.59 46.13E CVar CH E C Var CE SVar SG? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 13、某保险人有以下保单 类型 赔付额 保单数 发生理赔的概率 1 1 400 0.02 2 10 100 0.02 对于每张保单超过 R(R>1)的部分，保险人都买了再保险，每份保单每单位赔付的再保险保费为 0.025。保险人希望自留赔付加上再保险保费超过 34 的概率最小，用正态近似法求 R
解答：设自留额为 S，再保险费用为 C
2 2 22E(C)=100(10-R)(0.025)=2.5(10-R), E(S)=400(0.02)(1)+100R(0.02)=8+2RVar(S)=400 1 0.02 0.98 100 0.02 0.98 7.84 1.96( 34) [ 25 2.5 34] [ 9 2.5 ]( ) 9 2.5 (8 2 )[ ] [( )7.84 1.96R RP S C P S R P S RS E S R R SP PVar SR? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ??2( ) 1 0.5]( )1.4 4E S RVar SR? ??? 令 22 221 0.5( ) ,1.4 4(4 )(1 0.5 ) (1 0.5 ) (2 )( )1.96(4 )( ) 0, 2Rf RRR R R Rf RRf R R???? ? ? ?? ??? ? ?
第 五 章习题 答案 1、0.042 2、 x
( )Sf x ( )SF x 0 0.818731 0.818731 1 0.130997 0.949728 2 0.043229 0.992957 3 0.005799 0.998756 4 0.001097 0.999853 5 0.000128 0.999981 6 0.000018 0.999999
3、0.04, 0.04 4、1760 5、0.0365 6、768 7、2.064 8、92.16 9、6.38 10、2000000 11、15.19 12、22500 13、54,
1080 14、X 的矩母函数为 1( ) ( )ln(1 )ln(1 )ln(1 )tXXxtxxtM t E ecec xcec????? ????? 其中第二个等式利用级数2 3ln(1 )2 3x xx x ? ? ????? ? ? 。
利用复合分布矩母函数的性质
? ?11ln(1 )1 [ln(1 )]1[ln(1 )]ln(1 )( ) ( ( ))exp( ( ( ) 1))ln(1 )exp[ ( 1)]ln(1 )( (1 ) )(1 )(1 )11cS N XXtt ct ct ctM t P M tM tcece ceeceececce????????????? ????????? ??? ??? ?????? ? ?? ???? ? 令 ,ln(1 )q c rc? ?? ??，则1( )1rStqM tqe? ? ?? ???? ?，这是一个负二项分布的矩母函数，参数为 1－c 和 r 。
15、13/4 16、0.0518 17、
18、0.1587 19、0.11 20、0.6368 21、1308.68 22、10000000，6.55% 23、0.3518 24、2654.4，66495851
? ?? ?? ?? ?4442.82.842.82.81.240.3 0.7!4 !0.3 0.7! ! !1 2.81.2! !1.2 2.8! !1.2!nm m n mM nn mnm n mn mn mmn mm n mn mmf m e Cnnen m n meem n m eeem e n mem?? ???? ??? ?????? ??????? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ??? ???????
第五章习题解答
1、已知理赔额X的分布为 (1) 0.7Xf ? ， (2) 0.3Xf ? 。理赔次数N的分布为 ( 0) 0.6 P N ? ? ，( 1) 0.3 P N ? ? ， ( 2) 0.1 P N ? ? ，计算 (3)Sf 。
解答：
：由全概率公式得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 23 2 1, 2 2 2, 10.1 0.3 0.7 0.1 0.7 0.30.042Sf P N P X X P N P X X ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??
2、设某险种的总理赔额服从复合泊松分布，平均理赔次数为 0.2 次，在任何一次理赔中，有 80％的概率会损失 5000 元，有 20％的概率会损失 10000 元。试计算保险人所面临的总理赔额的分布。
解答：
：设 X 为个别理赔额，则 X 取值为 1，2 两个数，货币单位为 5000 元， 0.2 ? ?
0.2(0) 0.8187Sf e e? ? ?? ? ? (1) (1) (0) 0.2 0.8 exp(-0.2)=0.1309S X Sf f f ? ? ? ? ? (2) [ (1) (1) 2 (2) (0)] 0.0432292S X S X Sf f f f f?? ? ? (3) [ (1) (2) 2 (2) (1)] 0.0057993S X S X Sf f f f f?? ? ?
如此递推下去，结果列入下表：
x
( )Sf x ( )SF x 0 0.818731 0.818731 1 0.130997 0.949728 2 0.043229 0.992957 3 0.005799 0.998756 4 0.001097 0.999853 5 0.000128 0.999981 6 0.000018 0.999999
3、设总理赔额 S 为复合泊松分布，已知个别理赔额取值 1、2、3。下表给出了停止损失再保险不同自留额对应的净再保费：
自留额 净再保费 4 0.2 5 0.1 6 0.04 7 0.02 求 (5)Sf 和 (6)Sf 。
解答：
? ? ? ? ? ? ? ? 5 4 1 4 4 0.9S SE S E S F F? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 5 1 5 5 0.94S SE S E S F F? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 7 6 1 6 6 0.98S SE S E S F F? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 故 ? ? ? ? ? ? 5 5 4 0.04S S Sf F F ? ? ?
? ? ? ? ? ? 6 6 5 0.04S S Sf F F ? ? ?
4、假设某位医生每天给AN 个成年人和CN 个儿童看病。假设AN 和CN 都服从泊松分布，参数分别为 4 和 2。医生根据看病的时间收费每小时 200 元，已知医生在每位病人身上花费的时间的分布为：
成年人 儿童 1 小时 0.4 0.8 2 小时 0.6 0.2 求这个医生一天内的平均收入。
解答：假设医生一天看病的总时间为 S，则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 1.6 2 1.2 8.8A C A A C CE S E S E S E N E X E N E X ? ? ? ? ? ? ? ? ?
设平均收入为 M，则 ? ? 200 1760 M E S ? ? ?
5、设总理赔额 S 为复合泊松分布，已知个别理赔额的分布为1(1) (2) (4)3X X Xf f f ? ? ? ，又已知 S 取某些数值的概率为：
S ( )Sf s
3 0.0132 4 0.0215 5 0.0271 6 (6)Sf
7 0.0410 求 (6)Sf 。
解答：由复合泊松分布的递归公式 ? ? ? ? ? ?1x rS X Syf x yf y f x yx???? ?? 得 (0)Sf e? ??
(1) (1) (1) (0)3S X Sf f f e????? ? ?
(2) 2(2) [1 (1) (1) 2 (2) (0)]21 2[ ]2 3 3 3 18 3S X S X Sf f f f fe e e? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ?? ?? ? (3) 23 22(3) [1 (1) (2) 2 (2) (1)]31 2[ ( ) ]3 3 18 3 3 3162 9( 1) 0.01329 18S X S X Sf f f f fe ee ee? ?? ???? ? ? ?? ?? ?? ?? ??? ? ?? ? ? ? ?? ?? ? ?
(4) 2(5) [1 (1) (4) 2 (2) (3) 4 (4) (1)]51 2 4[ 0.0215 0.0132 ]5 3 3 3 32 40.0215 0.013215 3 450.0271S X S X S X Sf f f f f f fee???? ?? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??(5) 由（3）和（5）得
0.0264 4 0.0132 180.0271 0.021515 15 5 ...
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