看了它你离公务员就不远了
发布时间:2020-07-18 来源: 工作总结 点击： 
看了它，你离公务员就只剩一步之遥了。（史上最全公务员考试秘笈）
来源：
刘莹 1024的日志
第一部分、数字推理 一、基本要求
熟记熟悉常见数列，保持数字的敏感性，同时要注意倒序。
自然数平方数列：4，1，0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144,169，196，225，256，289，324，361，400…… 自然数立方数列：－8，－1，0，1，8，27，64，125，216，343，512，729，1000
质数数列：
2，3，5，7，11，13，17……（注意倒序，如 17,13,11,7,5,3,2）
合数数列：
4，6，8，9，10，12，14…….（注意倒序）
二、解题思路：
1 基本思路：第一反应是两项间相减，相除，平方，立方。所谓万变不离其综，数字推理考察最基本的形式是等差，等比，平方，立方，质数列，合数列。
相减，是否二级等差。
8，15，24，35，（48）
相除，如商约有规律，则为隐藏等比。
4，7，15，29，59，（59*2－1）初看相领项的商约为 2，再看 4*2-1=7,7*2+1＝15……
2 特殊观察：?
项很多，分组。三个一组，两个一组
4，3，1，12，9，3，17，5，（12）
三个一组
19，4，18，3，16，1，17，（2）
2，－1，4，0，5，4，7，9，11，（14）两项和为平方数列。
400，200，380，190，350，170，300，（130）两项差为等差数列?
隔项，是否有规律?
0，12，24，14，120，16（7^3－7）
数字从小到大到小，与指数有关
1，32，81，64，25，6，1，1/8??隔项，是否有规律?
? 0，12，24，14，120，16（7^3－7）
每个数都两个数以上，考虑拆分相加（相乘）法。
87，57，36，19，（1*9+1）
256，269，286，302，（302+3+0+2）?
数跳得大，与次方（不是特别大），乘法（跳得很大）有关
1，2，6，42，（42^2+42）
3，7，16，107，（16*107-5）??
?每三项/二项相加，是否有规律。?
?1，2，5，20，39，（125－20－39）
三项相加等于数的的立方 21，15，34，30，51，（10^2-51）?
C=A^2－B 及变形（看到前面都是正数，突然一个负数，可以试试）
3，5，4，21，（4^2-21）,446
5，6，19，17，344,(-55)
-1，0，1，2，9，（9^3+1）?
C=A^2+B 及变形（数字变化较大）
1，6，7，43，（49+43）
1，2，5，27，（5+27^2）?
??分数，通分，使分子/分母相同，或者分子分母之间有联系。/也有考虑到等比的可能
2/3，1/3，2/9，1/6，（2/15）
3/1，5/2，7/2，12/5，（18/7）分子分母相减为质数列
1/2，5/4，11/7，19/12，28/19，（38/30）分母差为合数列，分子差为质数列。
3，2，7/2，12/5，（12/1）??????????? 通分，3,2 变形为 3/1，6/3，则各项分子、分母差为质数数列。
64，48，36，27，81/4，（243/16）等比数列。
出现三个连续自然数，则要考虑合数数列变种的可能。
7，9，11，12，13，（12+3）
8，12，16，18，20，（12*2）
突然出现非正常的数，考虑 C 项等于 A 项和 B 项之间加减乘除，或者与常数/数列的变形
2，1，7，23，83，（A*2+B*3）思路是将 C 化为 A 与 B 的变形，再尝试是否正确。
1，3，4，7，11，（18）
8，5，3，2，1，1，（1－1）??
?首尾项的关系，出现大小乱现的规律就要考虑。
3，6，4，（18），12，24 首尾相乘
10，4，3，5，4，（－2）首尾相加
旁边两项（如 a1,a3)与中间项(如 a2)的关系
1，4，3，－1，－4，－3，（ －3―（－4）
）
1/2，1/6，1/3，2，6，3，(1/2)?
??B 项等于 A 项乘一个数后加减一个常数
3，5，9，17，（33）
5，6，8，12，20，(20*2－4)
如果出现从大排到小的数，可能是 A 项等于 B 项与 C 项之间加减乘除。
157,65,27,11,5,(11-5*2)
一个数反复出现可能是次方关系，也可能是差值关系
－1，－2，－1，2，（－7）
差值是 2 级等差
1，0，－1，0，7，（2^6－6^2）
1，0，1，8，9，（4^1）
除 3 求余题，做题没想法时，试试（亦有除 5 求余）
4,9,1,3,7,6,( C) A.5 B.6. C.7 D.8 （余数是 1,0,1,0,10,1) 3.怪题：
日期型
2100－2－9，2100－2－13，2100－2－18，2100－2－24，（2100-3-3）
结绳计数
1212，2122，3211，131221，（311322）
2122 指 1212 有 2 个 1，2 个2.?? 第二部分、图形推理 一． 基本思路：
看是否相加，相减，求同，留同存异，去同相加，相加再去同，一笔划问题，笔划数，线条数，旋转，黑白相间，轴对称/中心对称，旋转，或者答案只有一个图可能通过旋转转成。
视觉推理偏向奇偶项，回到初始位置.
注：5 角星不是中心对称 二．特殊思路：
1.有阴影的图形
可能与面积有关，或者阴影在旋转，还有就是黑白相间。
INCLUDEPICTURE "" \* MERGEFORMATINET
第一组，1/2 1/4 1/4
第二组，1，1/2, (1/2 A)
两个阴影，里面逆时针转，外面顺时针转。
2． 交点个数
一般都表现在相交露头的交点上 或者一条线段穿过多边形 INCLUDEPICTURE ".examda.com/gwy/" \* MERGEFORMATINET
交点数为，3，3，3
第二组为 3，3，（3）
INCLUDEPICTURE "/gwy/" \* MERGEFORMATINET
交点数为，1，1，1
第二组为 2，2，（2）
但是，露头的交点还有其它情形。
HYPERLINK ".cn/main/html/showpic.html" \l "url=3f7f9dde02000ebe" \t "_blank" INCLUDEPICTURE "na.com.cn/pic/3f7f9dde02000ebe" \* MERGEFORMATINET
此题算 S 形，露头数，1,3,5,7,9,11,(13 B ),15,17
3. 如果一组图形的每个元素有很多种，则可从以下思路，元素不同种类的个数，或者元素的个数。
出现一堆乱七八遭的图形，要考虑此种可能。
INCLUDEPICTURE "" \* MERGEFORMATINET
第一组 2,4,6 种元素，第二组，1,3,（5）
INCLUDEPICTURE "10546/10546272.jpg" \* MERGEFORMATINET
种类，1，2，3，4（5）
元素个数为 4，4，4
4，4，（4）
4.包含的块数
/
分割的块数
出现一些乱七八遭的图形，或者出现明显的空间数，要考虑此种可能。
包含的块数，1,2,3,4,5,(6,B)
INCLUDEPICTURE "" \* MERGEFORMATINET
分割的块数为，3，3，3，3，3，（3，A）
5.特点是，大部分有两种不同元素，每个图形两种类个数各不相同。
INCLUDEPICTURE "da.com/gwy/" \* MERGEFORMATINET
圆形相当于两个方框，这样，全都是八个方框，选 D
6.角个数
只要出现成角度图形都需要注意
INCLUDEPICTURE "" \* MERGEFORMATINET
3，4，5，6,(7)
7.直线/曲线出现时，有可能是，线条数。或者，都含曲线，都含直线，答案都不含直线，都不含曲线。
INCLUDEPICTURE "http://" \* MERGEFORMATINET
线条数是，3，3，3
4，4，4
8. 当出现英文字母时，有可能是笔划数，有可能是是否直线/曲线问题，又或者是相隔一定数的字母。
如，
C S U ,
D B ?
A.P
B.O
C.L
D.R
分析：C,S,U 都是一笔， D,B,P 都是两笔。
INCLUDEPICTURE "mda.com/gwy/" \* MERGEFORMATINET
分析：B，Q，P 都含直线，曲线。A,V,L 都只含直线。
K,M,O
D,F,?
A.L
B.H
C,P
D.Z
分析：K,M 相距 2，O 和 M 距 2，D 和 F 距 2，F 和 H 距 2
A,E,I
J,N,?
A.G
B.M
C.T
D.R
分析：A,E,I 是第 1,5,9 个字母， J,N，R 是第 10,14，18
9.明显的重心问题
INCLUDEPICTURE "u521.com/campus/article/upload" \* MERGE
FORMATINET
重心变化，下，中，上
下，中，（上），选 C
10.图形和汉字同时出现，可能是笔划数
INCLUDEPICTURE ".cn/gwy/ms/W020070849.jpg" \* MERGEFORMATINET
笔划数为，1，2，3，2，（1）
出现汉字，可是同包含
爱，仅，叉，圣，？A.天 B.神 C.受 D 门
同包含“又”
11.图形有对称轴时，有可能是算数量
第一组对称轴数有，3，4，无数 都三条以上
第二组，5，4，（3条以上）
12.九宫格的和差关系，可能是考察行与行之间的关系。
第一行，等于第二行加第三行。
也可能是考察，一行求和后，再考察行与行之间的关系。
HYPERLINK "/main/html/showpic.html" \l "url=" \t "_blank" INCLUDEPICTURE "m.sina.com.cn/pic/3f7f9dde02000ebg" \* MERGEFORMATINET
13. 5,3,0,1,2，（4）
遇到数量是这种类型的，可能是整体定序后是一个等差数列。慎用。
HYPERLINK "hoto.sina.com.cn/showpic.html" \l "blogid=46c069da0100a99v&url=46c069da451f8a82f7ea0" \t "_blank" INCLUDEPICTURE "ina.com.cn/bmiddle/46c069da451f8a82f7ea0" \* MERGEFORMATINET
析：观察所给出的左边的图形，出方框范围的线条有 3，5，1，2，0，如果再加上 4 就构成了一个公差为 1 的等差数列，选项 C 有 4个出方框范围的线条，故选 C。
14.数字九宫格 这类九宫格一般把中间数化为两数相乘。
26＝2*13＝2*（7+8－2）10＝2*5＝2*（3+6－4）所求项为 2*(9
+2-3)=16
15.如果有明显的开口时，要考虑开口数。要注意这种题型越来越多。
例：第一组是 D
A
N
第二组是 L
S
?
选项：A.W
B.C
C.R D.Q
析：因为第一组开口数 0,1,2 第二组开口数是 1,2,3(A)
第三部分、判断推理
最关键的地方，看清题目，问的是不能还是能，加强还是削弱（是否有“除了”这个词）
一．最多与最少
概念之间的关系主要可以分为三大类：
一是包含，如“江苏人”与“南京人”；
二是交叉，如“江苏人”与“学生”；
三是全异，如“江苏人”与“北京人”。
全异的人数最多，全包含的人数最少，以下面例子为例。
例 1：房间里有一批人，其中有一个是沈阳人，三个是南方人，两个是广东人，两个是作家，三个是诗人。如果以上介绍涉及到了房间中所有的人，那么，房间里最少可能是几人，最多可能是几人？
析：广东人是南方人，所以三个南方人和两个广东人，其实只有 3 个人。现考虑全异的情况，即沈阳人，南方人，都不是作家和诗人，这样人数会最多。1+3+2+3=9,最多 9 人。现考虑全包含的情况，假设
南方人中，3 个全是诗人，有两个是广东人，有两个南方人是作家，已经占 3 个人了；这样沈阳人也是 1 人，即最少有 4 人。（本题最容易忽略的是，南方人有可能既是作家，又是诗人，最少的就是把少的包在多的中）
例 2：某大学某某寝室中住着若干个学生，其中，1 个哈尔滨人，2个北方人，1 个是广东人，2 个在法律系，3 个是进修生。因此，该寝室中恰好有 8 人。以下各项关于该寝室的断定是真的，都能加强上述论证，除了
A、题干中的介绍涉及了寝室中所有的人。
B、广东学生在法律系。
C、哈尔滨学生在财经系。
D、进修生都是南方人。
析：本题，哈尔滨人是北方人，则寝室最多的人数是：2+1+2+3＝8人，因为寝室正好 8 人，所以，北方人，广东人，法律系，进修生，全部是相异的，一旦有交叉，必然造成寝室人数少于 8 人。所以选 B 二．应该注意的几句话
1.不可能所有的错误都能避免 不可能所有的错误都能避免，怎么理解？
A.???? 可能有的错误不能避免? B.必然有的错误不能避免。
答案是 B，不可能所有的错误都能避免，说明了至少存在一个例子错误是不能避免的，可能有一个例子，可能有很多个例子，即必然有的
错误不能避免。可能有的错误不能避免，只是可能，说明有可能所有的错误都能避免。
2.
A.? 妇女能顶半边天，祥林嫂是妇女，所以，祥林嫂能顶半边天。
此句话推理有误。因为妇女能顶半边天的妇女是全集合概念，与祥林嫂是妇女中的妇女的概念不一至。类似于，孩子都是祖国的花朵，花朵都需要浇水，所以孩子都需要浇水。又，鲁迅的小说不是一天能读完的，《呐喊》是鲁迅的小说，所以，《呐喊》不是一天能读完的。错误，因为前面小说是相对鲁迅所有小说，集合的概念，后项是非集合概念。
2.
B.? 对网络聊天者进行了一次调查，得到这些被调查的存不良企图的网络聊天者中，一定存在精神空虚者。
那么能不能得出“存在不良企图网络聊天者中一定有精神空虚者”呢？答案是否定的，因为要得出的结论是全集的概念，而题干只是针对调查者。
2.
C.? 对近三年刑事犯调查表明，60%都为己记录在案的 350 名惯犯所为。报告同时揭示，严重刑事犯罪案件的作案者半数以上是吸毒者。
那么能不能得出“350 名惯犯中一定有吸毒者”呢？不能。因为 60%是指案件，而半数指的是作案者。假如案件有 1000 个案犯，其中 35
0 名惯犯做了 600 件案子，其他６５０名案犯才做了 400 件案子，那么如果 650 名全部吸了毒，而 350 全不吸毒，也符合严重刑事犯罪案件的作案者半数以上是吸毒者（65%吸了毒）。另外一种说法，严重刑事犯罪案件的作案案件半数中一定有案件是 350 名惯犯里的人做的，这个就正确了。
3.或者，或者 要么，要么
或者 A，或者 B 这个关联词表示，可能是 A 成立，可能是 B 成立，可能是 A/B 都成立。
例如，鲁迅或者是文学家，或者是革命家。表示，鲁迅可能是文学家，可能是革命家，可能是文学革命家。
如果是要么，要么，则只有两个可能性，文学家，和革命家。
4.并非某女年轻漂亮/（并非毛泽东既是军事家，又是文学家）
这句话表示，某女可能年轻不漂亮，可能漂亮不年轻，可能即不漂亮也不年轻。
毛泽东可能是军事家不是文学家，可能是文学家但不是军事家，可能既不是军事家也不是文学家。
5.A:我主张小王和小孙至少提拔一人 B:我不同意
B 的意思是，小王和小孙都不提拔。因为如果提拔任何一人，都满足了 A 的话，即同意了 A。
6.如果天下雨，那么地上湿。类似的短语（只要,就；如果，那么；一，就）
第一，现在天下雨了，那么地上湿不湿呢？湿
第二，现在天没下雨，地上湿不湿呢？不一定
第三，现在地上湿了，天有没有下雨呢？不一定
第四，现在地上没湿，天有没有下雨呢？没有。
7.只有天下雨，地上才会湿。类似的短语（除非，才；没有，就没有；不，就不）
表示的含义??? 1.天下雨，地不一定会湿。
2.天不下雨，地一定不会湿。
8.A:所有的同学都是江苏人；B：不同意
B 的意思是，必然有同学不是江苏人，但可以全部都不是江苏人，也可以是有部分同学不是江苏人。
9.发牢骚的人都能够不理睬通货膨胀的影响。
这句话意思是，只要是发牢骚的，就能不理睬通货膨胀的影响。
但，不理睬通货膨胀的影响的人，不一定是发牢骚的人。
10.所有的贪污犯都是昌吉人;所有的贪污犯都不是昌吉人。
第一句话，不能理解为，所有昌吉人都是贪污犯人。但只要是贪污犯，都是昌吉人。
第二句话，可以理解为，所有的昌吉人都不是贪污犯。因为一旦昌吉人是贪污犯，则不是昌吉人，所以昌吉人不可能是贪污犯。即所有昌吉人都不是贪污犯。
11.主板坏了，那么内存条也一定出了故障。
这种假设命题，除非能证明，“主板坏了，那么内存条不一定/没出故障。”否则，不能认为主板就一坏了。也就是即使主板确定是好好的，这个命题也是真的。
12.推理方式的正确性
题目给的是：所有的读书人都有熬夜的习惯，张目经常熬夜，所以，张目一定是读书人。
这个命题是不一定准确的。
选项：所有的素数都是自然数，91 是自然数，所以 91 是素数。
这个命题是错误的，因为 91 是复数，由此，题目推理方式不同。
有时的题目是，题干正确，那么也要选正确的。
13.除非谈判马上开始，否则有争议的双方将有一方会违犯停火协议。
谈谈马上开始了，能保证有争议的双方不会有一方违犯停火协议吗？答案是不能。题目意思是说，只有谈判马上开始，有争议的双方才能不会有一方违犯停火协议。只是停火的条件。? 14.正确的三段论和错误的三段论
正确的三段论：
所有的聪明人都近视，
有些学生是聪明人，
有些学生近视。
错误的三段论如：
所有的聪明人都近视，
有些学生不聪明，
有些学生不近视。
三．充分必要条件万能宝典
A＝>B，表示，A 是 B 成立的充分条件，B 是 A 成立的必要条件。A能推出 B，B 成立却不一定推出 A 成立。没有 B 就没有 A，不是 B 就决不会有 A，只要 A 成立，B 一定要成立。
A＝>B，B=>C,则 A=>C。
1.只有博士，才能当教授。只有通过考试，才能当博士。
不是博士，不能当教授。博士是当教授的必要条件，教授一定是博士，博士不一定是教授。
1 式：教授＝》是博士
不通过考试，不能当博士。通过考试是当博士的必要条件，博士一定通过考试，通过考试不一定是博士，可能还要其它条件。
2 式：是博士＝》通过了考试
联合得，教授＝》通过了考试 2.只有住在广江市的人才能够不理睬通货膨胀的影响；如果住在广江市，就得要付税；每一个付税的人都要发牢骚。
根据上述判断，可以推出以下哪项一定是真的？
（1）每一个不理睬通货膨胀影响的人都要付税。
（2）不发牢骚的人中没有一个能够不理睬通货膨胀的影响。
（3）每一个发牢骚的人都能够不理睬通货膨胀的影响?
?析：第一句话，说明，不理睬＝》广江市；第二句，广江＝》付税；第三句，付税＝》发牢骚。则? 不理睬＝》? 在广江市? ＝》? 付税?? ＝》?? 发牢骚
由此，(1),可得之。（2），发牢骚是不理睬的必要条件，不发牢骚，就不能不理睬。
（3），只有发牢骚，才能不理睬。但发牢骚了，不代表不理睬。
则选（1）（2）
四．加强、削弱、和前提 1 审题 要分辨题目是加强还是削弱还是前提，看清题意（有没有“除了”这些字眼），不要看到一个选项就自以为是选上，实际上和题目要求相反。
另一个重点是，分清问的是什么？论据，论证，论点
论点是统帅,解决“要证明什么”的问题;论据是基础,解决“用什么来证明”的问题;论证是达到论点和论据同意的桥梁。
答题时要审好题目，题意是要加强/削弱什么？论据，论证，还是观点。
例：
有一句话，“学雷锋不好！因为雷锋以前就是个贪图小便宜、损人利己的坏人。如果学了雷锋，那么就没时间学习科学知识，就没时间进
行自我修养。”
其中，学雷锋不好是我的论点，雷锋以前是什么样的人是我的论据。学了雷锋就怎样怎样这一推断过程，算是我的论证。
要反驳削弱，如果你直接咬住“学雷锋不好”这一错误观点，来批驳我，就是驳论点；如果你列举真实的雷锋事迹，来批驳我关于雷锋是什么样的人的论据，就是驳论据；如果你找出我的逻辑错误或者论述过程中的结果错误，来批驳我，就是驳论证。? 2.解削弱型
解答此类试题，一般要先弄清楚题干所描述的论点、论据和论证的关系。如果是削弱结论，则从题干所描述的论点的反向思考问题，一般就是找论点的矛盾命题，或是与论点唱反调的命题；如果是削弱论证，则主要从论点和论据之间的逻辑关系方面思考问题；如果是削弱论据，则从论据的可靠性角度试考问题。
如果题目是不能削弱，则是要找出，和论据/论证/论点 不相干的一项或者加强的一项。
五．一些题型?
1.这种判断甲乙丙是谁的题，从出现过两次的那个人入手。
例：世界田径锦标赛 3000 米决赛中，跑在最前面的甲、乙、丙三人中，一个是美国选手，一个是德国选手，一个是肯尼亚选手，比赛结束后得知：
（1）甲的成绩比德国选手的成绩好。
（2）肯尼亚选手的成绩比乙的成绩差。
（3）丙称赞肯尼亚选手发挥出色。
则，甲，乙，丙分别是？
析：（2），（3）中，肯尼亚出现两次，从此切入，肯尼亚不是乙，肯尼亚不是丙，则肯尼亚是甲。又由 1，肯尼亚比德国成绩好，肯尼亚又比乙差，则德国不是乙，是丙。美国是乙。
2．定义判断的注意事项
定义判断一定要注意，题目问的是不属于，还是属于。
定义判断一般是判断是否属于“属”，再看是否符合“种差”。
注：逻辑推理可以通过 MBA 逻辑书籍进行超级强化。
第四部分、数学运算（注意运算不要算错，看错！！！越简单的题，越要小心陷阱）
一．排列组合问题 1. 能不用排列组合尽量不用。用分步分类，避免错误 2. 分类处理方法，排除法。
例：要从三男两女中安排两人周日值班，至少有一名女职员参加，有（C1/2 *C1/3 +1）种不同的排法?
析：当只有一名女职员参加时，C1/2* C1/3； 当有两名女职员参加时，有 1 种 3．特殊位置先排 例：某单位安排五位工作人员在星期一至星期五值班，每人一天且不重复。若甲忆两人都不能安排星期五值班，则不同的排班方法共有（3 * P4/4）?
析：先安排星期五，后其它。
4. 相同元素的分配（如名额等，每个组至少一个），隔板法。
例：把 12 个小球放到编号不同的 8 个盒子里，每个盒子里至少有一个小球，共有（C7/11）种方法。?
：0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ，共有 12－1 个空，用 8－1 个隔板插入，一种插板方法对应一种分配方案，共有 C7/11 种，即所求。
注意：如果小球也有编号，则不能用隔板法。
5. 相离问题（互不相邻）用插空法
例：7 人排成一排，甲、乙、丙 3 人互不相邻，有多少种排法？?
析：| 0 | 0 | 0 | 0 |,分两步。第一步，排其它四个人的位置，四个 0 代表其它四个人的位置，有 P4/4 种。第二步，甲乙丙只能分别出现在不同的 | 上，有 P3/5 种，则 P4/4 * P3/5 即所求。
例：在一张节目表中原有 8 个节目，若保持原有的相对顺序不变，再增加三个节目，求共有多少种安排方法 析：思路一，用二次插空法。先放置 8 个节目，有 9 个空位，先插一个节目有 9 种方法，现在有 10 个空位，再插一个节目有 10 种方法，现有 11 种空位，再插一种为 11 种方法。则共有方法 9*10*11。?
????? 思路二，可以这么考虑，在 11 个节目中把三个节目排定后，剩下的 8 个位置就不用排了，因为 8 个位置是固定的。因此共有方法 P3/11? 6. 相邻问题用捆绑法?
????? 例：7 人排成一排，甲、乙、丙 3 人必须相邻，有多少种排法？?
????? 析：把甲、乙、丙看作整体 X。第一步，其它四个元素和 X 元
素组成的数列，排列有 P5/5 种；第二步，再排 X 元素，有 P3/3 种。则排法是 P5/5 * P3/3 种。? 7. 定序问题用除法 ????? 例：有 1、2、3，...，9 九个数字，可组成多少个没有重复数字，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字的 5 位数？?
????? 析：思路一：1－9，组成 5 位数有 P5/9。假设后三位元素是（A和 B 和 C，不分次序，ABC 任取）时（其中 B>C>A）,则这三位是排定的。假设 B、C、A 这个顺序，五位数有 X 种排法，那么其它的 P3/3-1 个顺序，都有 X 种排法。则 X*(P3/3-1+1)=P5/9,即 X=P5/9 / P3/3?
????? 思路二：分步。第一步，选前两位，有 P2/9 种可能性。第二步，选后三位。因为后三位只要数字选定，就只有一种排序，选定方式有C3/7 种。即后三位有 C3/7 种可能性。则答案为 P2/9 * C3/7? 8. 平均分组 例：有 6 本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本。有多少种不同的分法？
析：分三步，先从 6 本书中取 2 本给一个人，再从剩下的 4 本中取 2本给另一个人，剩下的 2 本给最后一人，共 C2/6* C2/4 * C2/2 例：有 6 本不同的书，分成三份，每份两本。有多少种不同的分法？
析：分成三份，不区分顺序，是无序的，即方案(AB,CD,EF)和方案（A
B,EF,CD）等是一样的。前面的在（C2/6* C2/4 * C2/2）个方案中，每一种分法，其重复的次数有 P3/3 种。则分法有，（C2/6* C2/4 * C2/2）
/?? P3/3 种分法。
二．日期问题 1.闰年，2 月是 29 天。平年，28 天。
2.口诀：
平年加 1，闰年加 2；(由平年 365 天/7=52 余 1 得出)。
例：2002 年 9 月 1 号是星期日? 2008 年 9 月 1 号是星期几？
因为从 2002 到 2008 一共有 6 年，其中有 4 个平年，2 个闰年，求星期，则：
4X1+2X2=8，此即在星期日的基础上加 8，即加 1，第二天。
例：2004 年 2 月 28 日是星期六,那么 2008 年 2 月 28 日是星期几？?
4+1＝5，即是过 5 天，为星期四。
（08 年 2 月 29 日没到）
三．集合问题 1.两交集通解公式（有两项）
公式为：满足条件一的个数+满足条件二的个数－两者都满足的个数＝总个数-两者都不满足的个数
其中满足条件一的个数是指 只满足条件一不满足条件二的个数 加上 两条件都满足的个数? 公式可以画图得出
例：有 62 名学生，会击剑的有 11 人，会游泳的有 56 人，两种都不会用的有 4 人，问两种都会的学生有多少人？?
思路一：两种都会+只会击剑不会游泳+只会游泳不会击剑＝62－4?
设都会的为 T，11－T+56-T+T＝58，求得 T=9?
思路二：套公式，11+56－T＝62－4，求得 T＝9 例：对某小区 432 户居民调查汽车与摩托车的拥有情况，其中有汽车的共 27 户，有摩托车的共 108 户，两种都没有的共 305 户，那么既有汽车又有摩托车的有多少户？?
析：套用公式 27+108－T=432-305 得 T=8 2.三交集公式（有三项）
例：学校教导处对 100 名同学进行调查，结果有 58 人喜欢看球赛，有 38 人喜欢看戏剧，有 52 人喜欢看电影。另外还知道，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧（但不喜欢看电影）的有 6 人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧（但不喜欢看球赛）的有 4 人，三种都喜欢的有 12 人，则只喜欢看电影的人有多少人？
INCLUDEPICTURE "m/zzallenzz/654236673275/zybx1c5b.jpg" \* M
ERGEFORMATINET
如图， U=喜欢球赛的 + 喜欢戏剧的 + 喜欢电影的?
X 表示只喜欢球赛的人； Y 表示只喜欢电影的人； Z 表示只喜欢戏剧的人?
T 是三者都喜欢的人。即阴影部分。
a 表示喜欢球赛和电影的人。仅此 2 项。不喜欢戏剧
b 表示喜欢电影和戏剧的人。仅此 2 项。不喜欢球赛
c 表示喜欢球赛和戏剧的人。仅此 2 项。不喜欢电影。?
A=X+Y+Z,B=a+b+c,A 是只喜欢一项的人，B 是只喜欢两项的人，T是喜欢三项的人。?
则U=喜欢球赛的 + 喜欢戏剧的 + 喜欢电影的 = (x＋a＋c＋T) + (y＋a＋b＋T) + (z＋b＋c＋T)
整理，即
A+2B+3T＝至少喜欢一项的人数人
又：A+B+T＝人数
再 B+3T＝ 至少喜欢 2 项的人数和?
则
原题解如下：?
A+2*(6+4+c)+3*12=58+38+52?
A+(6+4+c)+12=100?
求得 c=14?
则只喜欢看电影的人=喜欢看电影的人数-只喜欢看电影又喜欢球赛的人-只喜欢看电影又喜欢看戏剧的人-三者都喜欢的人=52-14－4－12＝22 人
四．时钟问题
1.时针与分针
分针每分钟走 1 格，时针每 60 分钟 5 格，则时针每分钟走 1/12 格，每分钟时针比分针少走 11/12 格。
INCLUDEPICTURE "allenzz/125136673274/8ewbl47z.jpg" \* MERGEFORMATINET
例：现在是 2 点，什么时候时针与分针第一次重合？
析：2 点时候，时针处在第 10 格位置，分针处于第 0 格，相差 10 格，则需经过 10 /? 11/12 分钟的时间。
例：中午 12 点，时针与分针完全重合，那么到下次 12 点时，时针与分针重合多少次？
析：时针与分针重合后再追随上，只可能分针追及了 60 格，则分针追赶时针一次，耗时 60 / 11/12 ＝720/11 分钟，而 12 小时能追随及12*60 分钟/ 720/11 分钟/次=11 次，第 11 次时，时针与分针又完全重合在 12 点。如果不算中午 12 点第一次重合的次数，应为 11 次。如果题目是到下次 12 点之前，重合几次，应为 11-1 次，因为不算最后一次重合的次数。
2.分针与秒针
秒针每秒钟走一格，分针每 60 秒钟走一格，则分针每秒钟走 1/60 格，每秒钟秒针比分针多走 59/60 格?
例：中午 12 点，秒针与分针完全重合，那么到下午 1 点时，两针重合多少次？
析：秒针与分针重合，秒针走比分针快，重合后再追上，只可能秒针追赶了 60 格，则秒针追分针一次耗时，60 格/ 59/60 格/秒= 3600/59 秒。而到 1 点时，总共有时间 3600 秒，则能追赶，3600 秒 / 3600/59 秒/次=59 次。第 59 次时，共追赶了，59 次*3600/59 秒/次=3600秒，分针走了 60 格，即经过 1 小时后，两针又重合在 12 点。则重合了 59 次。
3.时针与秒针
时针每秒走一格，时针 3600 秒走 5 格，则时针每秒走 1/720 格，每秒钟秒针比时针多走 719/720 格。?
例：中午 12 点，秒针与时针完全重合，那么到下次 12 点时，时针与秒针重合了多少次??
析：重合后再追上，只可能是秒针追赶了时针 60 格，每秒钟追 719/720 格，则要一次要追 60 / 719/720=43200/719 秒。而 12 个小时有12*3600 秒时间，则可以追 12*3600/43200/719＝710 次。此时重合在 12 点位置上，即重合了 719 次。
4.成角度问题
例：在时钟盘面上，1 点 45 分时的时针与分针之间的夹角是多少？
INCLUDEPICTURE "enzz/729196673273/guy066k2.jpg" \* MERGEFORMATINET
析：一点时，时针分针差 5 格，到 45 分时，分针比时针多走了 11/12*45＝41.25 格，则分针此时在时针的右边 36.25 格，一格是 360/60＝6 度，则成夹角是,36.25*6=217.5 度。
5.相遇问题?
例：3 点过多少分时，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两边？?
析：作图，此题转化为时针以每分 1/12 速度的速度，分针以每分 1格的速度相向而行，当时针和分针离 3 距离相等，两针相遇，行程 15 格，则耗时 15 / 1+ 1/12 =180/13 分。
例：小明做作业的时间不足 1 时，他发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。小明做作业用了多少时间？?
析：
INCLUDEPICTURE "llenzz/576906673273/cd3ep3ej.jpg" \* MERGEFORMATINET ?
只可能是这个图形的情形，则分针走了大弧 B-A，时针走了小弧 A-B，即这段时间时针和分针共走了 60 格，而时针每分钟 1/12 格，分针 1格，则总共走了 60/ (1/12+1)=720/13 分钟，即花了 720/13 分钟。? 五．方阵问题 1、方阵外一层总人数比内一层的总人数多 8
2、每边人数与该层人数关系是：最外层总人数＝（边人数－1）×4?
3、方阵总人数＝最外层每边人数的平方
4、空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4
5、去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数*2-1
例：某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是 96 人，问这个学校共有学生？
析：最外层每边的人数是 96/4+1＝25，刚共有学生 25*25=625
例：五年级学生分成两队参加学校广播操比赛，他们排成甲乙两个方阵，其中甲方阵每边的人数等于 8，如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多 4 人，甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心。五年级参加广播操比赛的一共有多少人? 析：设乙最外边每人数为 Y，则丙为 Y+4.
8*8+Y*Y+8*8=(Y+4)(Y+4)
求出 Y=14,则共有人数：14*14+8*8＝260 例：明明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有围棋子15 个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子？摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子?
析：最外层有(15-1)*4=56 个。则里二层为 56-8*2=40
应用公式，用棋子（15－3）*3*4＝144 六．几何问题 1.公式
INCLUDEPICTURE "oo.com/zzallenzz/274586673273/uqtcofez.jpg" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "" \* MERGEFORMATINET
补：扇形面积＝1/2*r*l ???其中 r 为半径，l 为弧长。
2.两三角形，有一角成互补角，或者有一角重合的面积关系。
INCLUDEPICTURE "" \* MERGEFORMATINET
图 1 中，Sabc / Scde=BC/CE * AC/CD
图 2 中，Sabc / Sade=AB/AD * AC/AE (皆可通过作高，相似得到) 例：
如图，三角形 ABC 的面积为 1，并且 AE=3AB，BD=2BC，那么△BDE 的面积是多少？
Sbde=Sabc * BE/AB * BD/BC =1 * 2 * 2 =4? 例：
例 4 如下图，将凸四边形 ABCD 的各边都延长一倍至 A′、B′、 C′、D′，连接这些点得到一个新的四边形 A′B′C′D′，若四边形 A′B′C′D′的面积为 30 平方厘米，那么四边形 ABCD的面积是多少？
INCLUDEPICTURE "oo.com/zzallenzz/543496673270/3ggo9w4b.jpg" \* MERGEFORMATINET ?
Sa’ad’+Sb’cc’=2*Sabcd
同理 Sa’b’b+Sdc’d’=2Sabcd
则 Sabcd=30/(2+2+1)=6 3.圆分割平面公式
公式为：N^2-N+2,其中 N 为圆的个数。
一个圆能把平面分成两个区域，两个圆能把平面分成四个区域，问四个圆能最多把平面分成多少个区域？(4^2-4+2 ) 4.最大和最小
（1）等面积的所有平面图形当中，越接近圆的图形，其周长越小。
（2）等周长的所有平面图形当中，越接近圆的图形，其面积越大。
以上两条定理是等价的。
（3）等体积的所有空间图形当中，越接近球体的几何体，其表面积越小。
（4）等表面积的所有空间图形当中，越接近球体的几何体，其体积越大。
以上两条定理是等价的。? 例：相同表面积的四面体,六面体,正十二面体及正二十面体,其中体积最大的是:
A 四面体? B 六面体? C 正十二面体? D 正二十面体?
析：显然，正二十面体最接近球体，则体积最大。? 5.一个长方体形状的盒子长、宽、高分别为 20 厘米、8 厘米和 2 厘米，现在要用一张纸将其六个面完全包裹起来，要求从纸上剪下的部分不得用作贴补，请问这张纸的大小可能是下列哪一个?（??? ）?
A．长 25 厘米、宽 17 厘米??????????? B．长 26 厘米、宽 14 厘米
C．长 24 厘米、宽 21 厘米?????????? ?D．长 24 厘米、宽 14 厘米?
析：这种题型首先的思路应该是，先算盒子的总面积=2*(20*8+20*2+8*2)=432，除了 C 其它都小于 432。
七．比例问题、十字相乘法与浓度问题 1.十字相乘法?
一个集合中的个体，只有 2 个不同的取值，部分个体取值为 A，剩余部分取值为 B。平均值为 C。求取值为 A 的个体与取值为 B 的个体的比例。假设 A 有 X，B 有（1-X）。则 C 为 1。?
得式子，A*X+B*(1-X)＝C*1?
整理得 X=C-B / A-B?? 1-X=A-C / A-B?
则有 X : (1-X)=C-B / A-C?
计算过程写为 X??????? A???????? ?C-B??????? ：? ＝? ???????C? 1-X??????B????????? A-C???????? (一般大的写上面 A, 小的 B。)? 例：某体育训练中心，教练员中男占 90％，运动员中男占 80％，在教练员和运动员中男占 82％，教练员与运动员人数之比是?
析：一个集合（教练员和运动员的男性），只有 2 个不同的取值，部分个体取值（90%）,剩余部分取值为 82%，平均值为 82%。?
教练员
90%
2%
82%
= 1:4?
运动员
80%
8%
例：某班男生比女生人数多 80%，一次考试后，全班平均成级为 75 分，而女生的平均分比男生的平均分高 20% ，则此班女生的平均分是：?
析：男生平均分 X，女生 1.2X?
1.2X
75-X
1?
75
=?
X
1.2X-75
1.8?
得 X=70 女生为 84
2.浓度问题
溶液的重量＝溶质的重量+溶剂的重量
浓度＝溶质的质量 / 溶液质量
浓度又称为溶质的质量分数。
关于稀释，加浓，配制。其中混合后的浓度为 P.
稀释，一溶液加水，相当于 a 克 P1%的溶液，和 b 克 0%的溶液配制。
P1
P
a
P
0
P1-P
b
加浓，相当于 a 克 p1%的溶液，和 b 克 100%的溶液配制。
P1
P-100
a?
P
100
P1-P
b 配制则是 a 克 P1%的溶液，和 b 克 P2%的溶液配制。
可列以下十字相乘：
P1??????? P-P2????? a?
???? P
P2??????? P1-P????? b? 注：有些题不用十字相乘法更简单。
? 例：有含盐 15%的盐水 20 千克，要使盐水含盐 20%,需加盐多少千克？
析：
15
80
20?
20
100
5?
b 80/5=20/b 得 b=1.25g? 例：从装满 100g 浓度为 80％的盐水杯中倒出 40g 盐水后再倒入清水将杯倒满，这样反复三次后，杯中盐水的浓度是（）
A.17.28%??? B.28.8%????? C.11.52%??? D.48%?
析：开始时，溶质为 80 克。第一次倒出 40g，再加清水倒满，倒出了盐 80*40%，此时还剩盐 80*60%。同理，第二次，剩 80*60%*60%。第三次，乘 80*60%^3=17.28g，即浓度为 17.28%? 特例：有甲乙两杯含盐率不同的盐水，甲杯盐水重１２０克，乙杯盐水重８０克．现在从两杯倒出等量的盐水，分别交换倒入两杯中．这样两杯新盐水的含盐率相同．从每杯中倒出的盐水是多少克？?
析：设甲浓度 P1,乙浓度 P2。混合后的相等浓度为 P.拿出的等量的水为 a?
则对于甲?
P1
P-P2
120-a?
P?
P2
P1-P
a? 对于乙?
P2???????? P-P1????? 80-a?
????? P??????????
P1???????? P2-P????? a 则 120-a?????? a?
??? ?:?????? =????? :?
?? a???????????? 80-a?
得 a=120*80 / 120+80? 一般地，对于质量为 m1,m2 的溶液，也有 a=m1*m2/(m1+m2) 第四部分、数学运算中 八．数、整除、余数与剩余定理
1.数的整除特性
被 4 整除：末两位是 4 的倍数，如 16,216,936…
被 8 整除：末三位是 8 的倍数，如 144，2144，3152
被 9 整除：每位数字相加是 9 的倍数，如，81，936，549
被 11 整除：奇数位置上的数字和与偶数位置上的数字和之间的差是11 的倍数。??如，121，231，9295
如果数 A 被 C 整除，数 B 被 C 整除，则，A+B 能被 C 整除 ; A*B也能被 C 整除 如果 A 能被 C 整除，A 能被 B 整除，BC 互质，则 A 能被 B*C 整除。? ?例：有四个自然数 A、B、C、D，它们的和不超过 400，并且 A 除以B 商是 5 余 5，A 除以 C 商是 6 余 6，A 除以 D 商是 7 余 7。那么，这四个自然数的和是：?
析：A 除以 B 商是 5 余 5，B 的 5 倍是 5 的倍数，5 是 5 的倍数，则 A是 5 的倍数，同理 A 是 6 的倍数，A 是 7 的倍数，则 A 为最小公倍数，210，此题得解。?
2.剩余定理
原理用个例子解释，一个数除以 3 余 2，那么，这个数加 3 再除以 3，余数还是 2.?
一个数除以 5 余 3，除以 4 余 3，那么这个数加上 5 和 4 的公倍数 所得到的数，除 3 还是能得到这个结论。? 例：一个三位数除以 9 余 7，除以 5 余 2，除以 4 余 3，这样的三位数共有（）?
析：7 是最小的满足条件的数。9，5，4 的最小公倍数为 180，则 187是第二个这样的数，367，547，727，907 共 5 个三位数。?
例：有一个年级的同学，每 9 人一排多 5 人，每 7 人一排多 1 人，每5 人一排多 2 人，问这个年级至少有多少人？?
析：题目转化为，一个数除以 9 余 5,除以 7 余 1，除以 5 除 2。第一步，从最大的数开刀，先找出除以 9 余 5 的最小数，14。???? 第二步，找出满足每 9 人一排多 5 人，每 7 人一排多 1 人的最小的数。14 除以7 不余 1；再试 14+9 这个数，23 除以 7 照样不余 1；数取 14+9*4 时，50 除以 7 余 1，即满足每 9 人一排多 5 人，每 7 人一排多 1 人的最小的数是，50；??? 第三步，找符合三个条件的。50 除以 5 不余 2，再来 50+63（9，7 的最小公倍数）＝123，除 5 仍不余 2；再来，50+126，不余 2；……当 50+63*4 时，余 2，满足 3 个条件，即至少有 302个人。?
例：自然数 P 满足下列条件：P 除以 10 的余数为 9，P 除以 9 的余数
为 8，P 除以 8 的余数为 7.如果 100<P<1000，则这样的 P 有几个？?
析：此题可用剩余定理。但有更简单的，
P+1 是 10 的倍数
P+1 是 9 的倍数
P+1 是 8 的倍数
1-1000 内，10，9，8 的公倍数为，360,720，则 P 为 359,719。
3.84*86＝？
出现如 AB*AC=?，其中 B+C=10，计算结果为：百位数为 A(A+1)，十位/个位数为：B*C。注：如果 B*C 小于 10，用 0 补足。如：29*21,百位数为 2*3=6，个倍数为 1*9＝9，则结果为 609. 4.根号 3,3 次根号下 5，哪个小？ 这类题，关键是用一个大次的根号包住两个数。一个是 2 次根号，一个是 3 次根号，则应该用 6 次根号包住它们。根号 3，可以化成 6 次根号下 27；3 次根号下 5，可化为 6 次根号下 25,则根号 3 大于 3 次根号下 5. 九．等差数列?
性质：
（1）等差数列的平均值等于正中间的那个数（奇数个数或者正中间那两个数的平均值（偶数个数）
（2）任意角标差值相等的两个数之差都相等，即
A(n+i)-An=A(m+i)-Am
例：｛an｝是一个等差数列，a3＋a7－a10＝8，a11－a4＝4，则数列前 13 项之和是：
A3-a10=A4-A11=-4
这道题应用这两个性质可以简单求解。
因此 A7=8+4=12，而这 13 个数的平均值又恰好为正中间的数字 a7，因此这 13 个数的和为? 12×13=156
十．抽屉问题
解这类题的关键是，找出所有的可能性，然后用最不利的情况分析。
例：一个布袋中由 35 个同样大小的木球，其中白、黄、红三种颜色球各有 10 个，另外还有 3 个蓝色球、2 个绿色球，试问一次至少取出多少个球,才能保证取出的球中至少有 4 个是同一颜色的球？
析：最不利的情况是，取出 3 个蓝色球，又取了 2 个绿色球，白、黄、红各取 3 个，这个时候再取一个就有 4 个是同一颜色的球了。即取：3+2+3*3+1＝15 个球。
例：从 1、2、3、4……、12 这 12 个自然数中，至少任选几个，就可以保证其中一定包括两个数，他们的差是 7？?? ?重点??
析:考虑到这 12 个自然数中，满足差为 7 的组合有，(12，5)，（11，4），（10，3），（9，2），（8，1），共五种，还有 6,7 两个数没有出现过，则最不幸的情况就是，（12，5）等都取了一个，即五个抽屉取了五个，还有 6,7 各取一个，再取一个就有两个数差为 7 了，则取了5+2+1=8 个。
例：学校开办了语文、数学、美术三个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）。问：至少有多少名学生，才能保证有不少于 5 名同学参加学习班的情况完全相同
析：不同的情况有，都不参加、参加语文、参加数学、参加美术、参加语文和数学、参加语文和美术、参加数学和美术，最不幸的情况是，4 组人都参加了这 7 项，共 28 项，这样，再加入 1 人，即 29 人时，满足题意。
十一.函数问题
这种题型，土方法就是找一个简单的数代入。
X^3+Y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)
1.???? 求值
例：已知 f(x)=x^2+ax+3,若 f(2+x)=f(2-x)，则 f(2)是多少？
析：既然 f(2+x)=f(2-x)，当 x=2 时，方程成立，即 f(4)=f(0)，求得 a=-4，得解。
例：f（x*y）=f(x)*f(y)；f(1)=0,求 f(2008)=?
析：f(2008*1)=f(2008)*f(1)=0
例：f(x+1)= -1/f(x),f(2)=2007.f(2007)=?
析：f(3)=-1/f(2)=-1/2007，f(4)=-1/-1/2007=2007，f(5)=-1/2007，则 f(2007)=-1/2007
例：f(2x-1)=4*X^2-2x,求 f(x)
析：设 2x-1=u，则 x=u+1 / 2，则 f(u)=4* ((u+1)/2)^2-2*(u+1)/2 =u^2+u 所以 f(x)=x^2+x 2.求极值
例：某企业的净利润 y(单位：10 万元）与产量 x(单位：100 万件)之间的关系为 y=-x^2+4*x+1，问该企业的净利润的最大值是多少万元？（
）
A． 10
B．20
C．30
D．50
析：y=-(x-2)^2+5，则 y 最大值为 5。净利润为 50 万元。可以配方的。
例：某企业的净利润 y(单位：10 万元）与产量 x(单位：100 万件)之间的关系为 y=-1/3x^3+x^2+11/3，问该企业的净利润的最大值是多少万元？（? ）
A 5? B 50 C 60 D70
析：这道题要求导，公式忘光了， y=-1/3*3*x^2+2*x+0=0，解得 x=2，则代入 y 得 5。求导公式好像是-1/3x^3=3*(-1/3)*x^2，常数为 0。不能配方的，极值试求导，不会做只能放弃。
十二、比赛问题 1. 100 名男女运动员参加乒乓球单打淘汰赛，要产生男女冠军各一名，则要安排单打赛多少场？( )
【解析】在此完全不必考虑男女运动员各自的人数，只需考虑把除男女冠军以外的人淘汰掉就可以了，因此比赛场次是 100-2＝98(场)。
2. 某机关打算在系统内举办篮球比赛，采用单循环赛制，根据时间安排，只能进行 21 场比赛，请问最多能有几个代表队参赛？( )
【解析】根据公式，采用单循环赛的比赛场次＝参赛选手数×（参赛选手数-1)/2，因此在 21 场比赛的限制下，参赛代表队最多只能是 7队。
3. 某次比赛共有 32 名选手参加，先被平均分成 8 组，以单循环的方式进行小组赛；每组前 2 名队员再进行淘汰赛，直到决出冠军。请问，共需安排几场比赛？( )
【解析】
根据公式，第一阶段中，32 人被平均分成 8 组，每组 4 个人，则每组单循环赛产生前 2 名需要进行的比赛场次是：4×（4-1)÷2＝6(场)，8 组共 48 场；第二阶段中，有 2×8＝16 人进行淘汰赛，决出冠军，则需要比赛的场次就是：参赛选手的人数-1，即 15 场。最后，总的比赛场次是 48＋15＝63(场)。
4. 某学校承办系统篮球比赛，有 12 个队报名参加，比赛采用混合制，即第一阶段采用分 2 组进行单循环比赛，每组前 3 名进入第二阶段；第二阶段采用淘汰赛，决出前三名。如果一天只能进行 2 场比赛，每6 场需要休息一天，请问全部比赛共需几天才能完成？( )
【解析】
根据公式，第一阶段 12 个队分成 2 组，每组 6 个人，则每组单循环赛产生前 2 名需要进行的比赛场次是：6×（6-1)÷2＝15(场)，2 组共 30 场；第二阶段中，有 2×3＝6 人进行淘汰赛，决出前三名，则需要比赛的场次就是：参赛选手的人数，即 6 场，最后，总的比赛场次是 30＋6＝36(场)。
又，“一天只能进行 2 场比赛”，则 36 场需
要 18 天；“每 6 场需要休息一天”，则 36 场需要休息 36÷6-1＝5(天)，所以全部比赛完成共需 18＋5＝23(天)。
比赛赛制
在正规的大型赛事中，我们经常听到淘汰赛或者循环赛的提法，实际上这是两种不同的赛制，选手们需要根据事前确定的赛制规则进行比赛。我们先谈谈两者的概念和区别。
1. 循环赛：就是参加比赛的各队之间，轮流进行比赛，做到队队见面相遇，根据各队胜负的场次积分多少决定名次。
循环赛包括单循环和双循环。
单循环是所有参加比赛的队均能相遇一次，最后按各队在全部比赛中的积分、得失分率排列名次。如果参赛选手数目不多，而且时间和场地都有保证，通常都采用这种竞赛方法。
单循环比赛场次计算的公式为：
由于单循环赛是任意两个队之间的一场比赛，实际上是一个组合题目，就是 C(参赛选手数，2)，即：单循环赛比赛场次数＝参赛选手数×（参赛选手数-1 )/2
? 双循环是所有参加比赛的队均能相遇两次，最后按各队在两个循环的全部比赛中的积分、得失分率排列名次。如果参赛选手数目少，或者打算创造更多的比赛机会，通常采用双循环的比赛方法。
双循环比赛场次计算的公式为：由于双循环赛是任意两队之间比赛两次，因此比赛总场数是单循环赛的 2 倍，即：双循环赛比赛场次数＝参赛选手数×（参赛选手数-1 )
2. 淘汰赛：就是所有参加比赛的队...
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