基于教育学立场的“旋转变换”教学探索及点评

　　摘 要：数学教学在改革与反思中确立了以数学知识为资源和手段来“育”人的教育学立场． 基于教育学立场的数学教学怎样操作？本文以“旋转变换”为载体并采用研究性变革实践的方式进行了探索． 初步的理论求证与实践验证表明，探索中形成的教学操作方法对贯彻数学教学的教育学立场有积极的作用．
　　关键词：初中数学；教育学立场；旋转变换；教学操作
　　引言
　　数学教学在改革与反思中确立了以数学知识为资源和手段来“育”人的教育学立场． 显然，基于教育学立场的数学教学需要合适的“过程”（如概念的形成过程、原理的生成过程、用数学方法和理论解决问题及问题解决后的反思过程等）．但目前课堂教学普遍存在“过程”短暂甚至缺失的问题，这不利于学生在“过程”中理解知识、体会和运用数学思想与方法及发展能力和个性． 基于教育学立场的数学教学怎样操作？笔者以浙教版《义务教育课程标准实验教科书?数学》七年级下册“2.4旋转变换”为载体，并采用研究性变革实践的方式进行了探索． 初步的理论求证和实践验证表明，探索中形成的教学操作方法对贯彻数学教学的教育学立场有积极的作用． 本文简录用教育学立场指导其教学的过程并进行点评，供读者参考、研究．
　　教学过程简录及点评
　　第1阶段：旨在“资源生成”的“有向开放”——预习基础上的交互反馈
　　第1步：课前预习——自主探索
　　课前，教师设计如下的“先行组织者”，供学生课前预习（允许合作研讨）．
　　１． 先观察物体的运动过程，再回答问题．
　　（１）如图１，这些物体的运动有何共同特点？
　　（２）它们在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生改变？
　　２． 你是怎样发现上述物体运动具有这样的特点？能否用数学的思维方法来加以说明？如果回答这个问题有困难，请你先思考下列问题：
　　（１）数学地看物体运动应该先把物体看成什么？
　　（２）图形是由点组成的，图形运动能否看成是图形上点的运动？
　　（３）考察图形上点运动特征的策略是什么？
　　３. 通过观察物体旋转运动的特征，你对图形旋转运动有何感触？
　　第2步：汇报交流——交互反馈
　　上课一开始，教师出示课前布置的问题，并要求学生汇报预习成果． 同时教师倾听学生的汇报、交流，必要时，教师进行追问、激励、评析． 在此基础上教师进行总结：
　　（１）几何研究的对象是图形，数学地看物体运动应将物体抽象成图形；图形是由点组成的，图形运动实际上就是图形上点的运动，而考察点运动的特征可从考察特殊点运动的特征着手．
　　（２）这样我们用抽象方法（物体→图形）、一般到特殊思想（图形运动→点运动→特殊点运动）和一般问题特殊化的认知策略，发现了物体旋转运动的特征：各部分绕定点按同一个方向旋转相同的角度． 其实，我们用抽象问题具体化的认知策略，还可以发现物体对应的图形旋转运动也具有这样的特征：图形上所有点绕定点按同一个方向旋转相同的角度．
　　（３）生活中旋转现象具有广泛的存在性；图形旋转是物体旋转运动的数学抽象；图形旋转能使局部的图形变成整体的图形，能使分散的图形集中起来，能使分散的条件相互沟通．
　　点评：这个“先行组织者”引导下的导入性学习活动具有典型性和定向指导性． 提前思考基础上的交流合作，有利于实现“导富济贫”，能使不同层次的学生在学习新知识之前达到大致同一水平；有利于资源生成，可能会产生个性化的想法；同时交流也能满足学生表现自我、发展自我、学会倾听的需要．
　　第２阶段：旨在“提升思维”的“互动生成”——研讨基础上生成数学方法和理论
　　第３步：引导探究——合作研讨
　　正因为这样的图形改变（旋转）有丰富的现实情景和广泛的应用价值，就决定了从数学角度研究这样的图形改变的必要性．这节课的研究对象就是这样的图形改变（旋转）． （揭示课题）
　　接着，教师依次提出以下２个挑战性的问题，要求学生合作研讨并发表自己的观点．
　　问题１：怎样确定图形改变后的新图形？如图2，O是△ABC外的一点．怎样作△ABC绕定点O按逆时针方向旋转60°后的图形？（提示：可分别依据图形旋转的含义和图形旋转的特征来进行作图）
　　学生独立学习（允许合作研讨），教师巡视指导，约3分钟后进行交流、示范．
　　问题2：①指出图3改变前后两个图形的对应点、对应边、对应角？②问：改变前后两个图形有哪些不变关系（位置关系或数量关系）？（提示：可从整体（着眼于图形）和局部（着眼于边、角、点）多个视角进行观察）
　　学生独立学习（允许合作研讨），教师巡视指导，约3分钟后进行交流、评析．
　　第4步：建构理论——综合概括
　　在此基础上，教师引导学生概括得出旋转变换的概念、确定旋转变换后象的方法、旋转变换的性质、旋转变换蕴涵的思维方法和思想方法及“三种几何变换”的异同．
　　（1）旋转变换的概念：由一个图形改变为另一个图形，在改变的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向（按顺时针或逆时针），转动（做圆周运动）同一个角度，这样的图形改变叫做图形的旋转变换，简称旋转． 这个固定点叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，经变换所得的新图形叫做原图形的象．
　　（2）确定旋转变换后象的方法：①操作法——图形整体旋转（依据是旋转的含义）． 这种方法的优点是：直观；缺点是：操作不方便． ②作图法——图形旋转化归为点旋转（依据是旋转的特征）． 这种方法的优点是：操作方便（更有“数学味”）；缺点是：抽象． 但两种思想方法都有应用价值，不可偏废．
　　（3）旋转变换的性质：旋转变换不改变图形的形状和大小——旋转前后的两个图形的对应边相等、对应角相等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度． 旋转变换前后的两个图形的不变关系是进一步认识几何的理论基础．
　　（4）旋转变换蕴涵的思维方法：一般到特殊（图形运动→点运动→特殊点运动）和特殊到一般（特殊点运动→点运动→图形运动）；旋转变换蕴涵的思想方法：通过图形旋转运动将局部的图形变成整体的图形，将分散的图形集中起来，将分散的条件相互沟通． 这些思维方法和思想方法具有广泛的应用价值．

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