公务员政法干警数量关系比赛问题专题汇总讲解
发布时间:2020-10-16 来源: 演讲稿 点击： 
比赛问题专项
n 人参赛
需要的比赛场次 淘汰赛需要决出冠亚军
n-1 （淘汰 n-1个队伍就能决出冠亚军）
淘汰赛需要决出前四名
n 单循环（任两人间打一场比赛）
C（n 2）
双循环（分主客场）
A（n 2）
比赛推理类 例 1：小赵，小钱，小孙一起打羽毛球，每局两人比赛，另一人休息，三人约定每一局的输方下一局休息，结束时算了一下，小赵休息了 2 局，小钱共打了 8 局，小孙共打了 5 局，则参加第 9 局比赛的是（
）？
【国家 2011】
A.小钱和小孙
B.小赵和小钱
C.小赵和小孙
D.以上皆有可能 楚香凝解析：小赵休息的 2 局是小钱和小孙在打，根据两容斥公式，总局数=8+5-2=11 局，小孙打了 5 局，因为不能连续休息两局，所以小孙必然是休息一局打一局，奇数局休息、偶数局上场，所以第 9 局是小赵和小钱，选 B
例 2：4 支足球队单循环赛，每两队都赛一场，每两队都赛一场，每场胜者得 3 分，负者得0 分，平局各得 1 分。比赛结束 4 支队的得分恰好是 4 个连续自然数，第四名输给第（
）名。
A.第一名
B.第二名
C.第三名
D.无法确定 楚香凝解析：每场最少得 2 分、最多得 3 分，共 C（4 2）=6 场，所以总分数介于 12-18 之间；则四个连续自然数可以是 2+3+4+5=14 或 3+4+5+6=18，当为 18 时相当于没有平局，则不可能出现 4 分、5 分的情况，排除；所以四支队的得分分别是 2、3、4、5，第一名 5 分说明胜 1 场平 2 场、第二名 4 分说明胜 1 场平 1 场负 1 场、第四名 2 分说明平 2 场负 1 场，三支队伍共胜 2 场平 5 场负 2 场（胜的总场数=负的总场数），则第三名只能为平 3 场、相当于跟另外三支队伍都是平局，则第四名的另一场平局只能跟第一名，那么第四名输给了第二名，选 B
比赛分数类 例1：8支足球队参加单循环比赛，胜者得2分，平者得1分，负者得0分，比赛结束后，8支足球队的得分各不相同，且第2名的得分与后4名的得分总和相等，第3名的得分是第5名的两倍，第4名的得分是第6名的两倍。问第一名比第四名多拿了多少分？
【山东2014】
A.3
B.4
C.5
D.6 楚香凝解析：8个队单循环，总场次=C（8 2）=28场，每场无论胜负情况如何两人总分都是2分，所以总比分=56分，第三名得分是第五名的两倍，第四名的得分是第六名的两倍，所以第三名和第四名的得分必为偶数，第二名的得分与后四名相同，所以两者和也必为偶数，现在第二名+第5678名是偶数、第三名+四名是偶数，所以第一名也必为偶数，排除 AC，假设差了四分，设第一名 x、第二名 x-1、第三名 x-2、第四名 x-4、后四名 x-1，总和=5x-8=56，
x 不是整数排除，选 D
例 2：学校举办一次中国象棋比赛，有 10 名同学参加，比赛采用单循环赛制，每名同学都要与其他 9 名同学比赛一局。比赛规则，每局棋胜者得 2 分，负者得 0 分，平局两人各得 1分，比赛结束后，10 名同学的得分各不相同，已知：（1）比赛第一名与第二名都是一局都没有输过；（2）前两名的得分总和比第三名多 20 分；（3）第四名的得分与最后四名的得分和相等。那么，排名第五名的同学的得分是（
）。
【国家 2007】
A.8 分
B.9 分
C.10 分
D.11 分 楚香凝解析：10 名同学单循环，每局无论胜负平，总分都是 2 分，所以总分数 C（10 2）*2=90，第一名和第二名没输过，所以第一名最多胜 8 平 1 得 17 分，第二名最多胜 7 平二得 16 分，第三名最多 13 分，第四名=最后四名最多 12 分，这八名最多17+16+13+12*2=70 分；第五名最多 11 分、则第五名只能为 11 分，如果第五名取 10 分的话、第六名最多 9 分，此时 70+10+9=89≠90 分，选 D
例 3：一次足球赛，有 A、B、C、D 四队参加，每两队都赛一场。按规则，胜一场得 2 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分。比赛结果，C 队得 5 分，A 队得 3 分，D 队得 1 分，所有场次共进了 9 个球，C 队进球最多，进了 4 个球，A 队共失了 3 个球，B 队一个球也没进，D队与 A 队比分是 2∶3，则 D 队与 C 队的比分是（
）
A.0:0
B.0:1
C.0:3
D.3:2 楚香凝解析：A 队共失了 3 个球，D 队与 A 队比分是 2∶3。说明 A 队失球其中两个是 D 队射的。又因为 B 没进球，所以另外一个失球来自于 C 队。D 队与 A 队比分是 2∶3，所有场次共进了 9 个球，C 队进了 4 个球。说明 A 队射 3 个，C 队射 4 个，D 队射 2 个。C：A = 1:0 A得到 2 分
B：D=0:0 D 得到 1 分 比赛结果 D 队总分是 1 分，所以 D 在对抗其他队伍的时候都是输的。又因为 C 队得 5 分，表示 c 两胜一平，它已经胜了 A，并且有因为赢了 D 所以只能和 B 打成平手。C：B=0:0 。所以 D 队与 C 队的比分是：0:3 ，选 C
例 4：五支足球队进行单循环赛，每两队之间进行一场比赛.胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分。最后发现各队得分都不相同，第三名得了 7 分，并且和第一名打平，获得第一名的球队得分是多少？ A.9
B.10
C.11
D.12 楚香凝解析：每个队比 4 场，第一名平了一场，剩下 3 场全胜的话，为 10 分，排除 CD；如果是 A 的话，第一名平了一场，剩下 3 场得分总和不可能为 8 分，排除；选 B
例 5：小刘和小李进行投标比赛，投不中记零环，投中按离靶心距离得 1~10 环。两人各投 5标，所得环数之积都是 1764，但小刘的总环数比小李多 4 环，那么小李得了( )环。
【河北政法干警 2014】
A.24
B.26
C.28
D.30 楚香凝解析：1764=2 2 *3 2 *7 2 ，所以可以拆成五种①（2*2）*3*3*7*7，和为 4+20=24；②（2*3）*2*3*7*7，和为 6+5+14=25；③（3*3）*2*2*7*7，和为 9+4+14=27；④（2*2）*（3*3）*1*7*7，和为 28；⑤（2*3）*（2*3）*1*7*7，和为 27；要想满足两人差为 4，则小李总环数必为 24环，选 A 例 6：在一场篮球比赛中，甲、乙、丙、丁共得 125 分，如果甲再多得 4 分，乙再少得 4 分，丙的分数除以 4，丁的分数乘以 4，则四人得分相同。问甲在这场比赛中得了多少分？
【山西 2014】
A.24
B.20
C.16
D.12 楚香凝解析：假设四人变化后得分相同都为 x，则甲实际得分（x-4），乙实际得分（x+4），丙得分（4x），丁得分（x/4），四人实际得分和=25x/4=125，得 x=20，所以甲实际得分 20-4=16，选 C
比赛名次类 例 1：某单位举办围棋联赛，所有选手的排名都没有出现并列名次。小周发现除自己以外，其他所有人排名数字之和正好是 70。问小周排名第几？
【山东 2014】
A.7
B.8
C.9
D.10 楚香凝解析：所有选手的排名构成首项为 1 的等差数列，1+2+…+N，N 取 12 时总数为 78，所以小周排第八，选 B
比赛局数类 例 1：有 101 位乒乓球运动员在进行冠军争夺赛。通过比赛，将从中产生一名冠军。这次比赛实行捉对淘汰制，在一轮比赛全部结束后，失败者失去继续比赛的资格，而胜利者再次抽签，参加下一轮的比赛。问一共要进行多少场比赛才能最终产生冠军？ 【广东 2004】
A.32
B.63
C.100
D.101 楚香凝解析：101 个人进行淘汰赛决出冠军需要 100 场，选 C
例 2：100 名男女运动员参加乒乓球单打淘汰赛，要产生男、女冠军各一名，则要安排单打赛多少场？
【国家 2006】
A.90
B.95
C.98
D.99 楚香凝解析：假设男女各 50 名，男女各需要 49 场、共 98 场，选 C
例 3：某次比赛共有 32 名选手，先被平均分为 8 组，以单循环的方式进行比赛每组前两名队员再进行淘汰赛，直到决出冠军。请问共需要安排几场比赛？
A.48
B.63
C.64
D.65 楚香凝解析：分成 8 组、每组 4 人单循环，共有 8* C（4
2）=48 场；每组前两名共 16 名进行淘汰赛，决出冠军需要 15 场，共 48+15=63 场，选 B
例 4：某足球赛决赛，共有 24 个队参加，它们先分成六个小组进行单循环赛，决出 16 强，这 16 个队按照确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠、亚军和第三、四名。总共需要安排多少场比赛？
【上海 2004】
A.48
B.51
C.52
D.54 楚香凝解析：分成六个小组，每组 4 人单循环需要 6*C（4
2）=36 场；16 强的队伍决出冠亚军需要 16 场，共 36+16=52 场，选 C
例 5：A、B、C、D 四支球队开展篮球比赛，每两个队之间都要比赛 1 场，已知 A 队已比赛了3 场，B 队已比赛了 2 场，C 队已比赛了 1 场，请问 D 队已比赛了几场？ 【江苏 2007】
A.3
B.2
C.1
D.0
楚香凝解析：连线法，A 跟 B/C/D 各比赛一场，C 只跟 A 比赛一场；B 跟 A/D 各比赛一场；则 D 跟 A/B 各比赛一场，选 B
例 6：A、B、C、D、E 5 个小组开展扑克牌比赛，每两个小组间都要比赛一场，到现在为止，A 组已经比赛了 4 场，B 组已经比赛了 3 场，C 组已经比赛了 2 场，D 组已经比赛了 1 场，问E 组比赛了几场？
【江西 2008】
A.0
B.1
C.2
D.3 楚香凝解析：连线法，A 跟 B/C/D/E 各比赛一场，D 只跟 A 比赛一场；B 跟 A/C/E 各比赛一场，C 只跟 A 和 B 比赛各比赛一场；则 E 跟 A/B 各比赛一场，选 C
例7：八名棋手进行单循环比赛，每两人只对局一次，其中七人已经分别赛过7、6、5、4、3、2、1盘。问另外一人比赛了几盘？
【青海2014】
A.0
B.2
C.4
D.6 楚香凝解析：让前7个人按照赛事多少编号为 ABCDEFG、第八个人编号 H。从两端往中间分析，A 比赛了7盘，相当于跟 B/C/D/E/F/G/H 都比赛一盘，G 只比赛一盘，所以只跟 A 比赛；B 比赛了六盘，所以跟 A/C/D/E/F/H（除了 G）都比赛过，F 比赛了两盘，只跟 A/B 比赛过；C比赛了五盘，所以跟除了 A/B/D/E/H（除了 F 和 G）都比赛过，E 比赛了三盘，只跟 A/B/C比赛过；D 比赛了四盘，除了跟 A/B/C 比赛之外，只能跟 H 比赛一场，所以跟 H 比赛的人有A、B、C、D 四个人，选 C
对例5、例6、例7进行总结，a 个人（a≥2）进行单循环，其中 a-1个人分别赛过 a-1、a-2…1场，那么另外一人比赛了 b 场。
（1）当 a 为偶数时，b=a/2； （2）当 a 为奇数时，b=（a-1）/2；
例 8：某高校组织了篮球比赛。其中机械学院队、外语学院队、材料学院队和管理学院队被分在同一个小组，每两队之间进行一场比赛且无平局。结果机械学院队赢了管理学院队，且机械学院队、外语学院队和材料学院队胜利的场数相同，则管理学院队胜了多少场？ 【河南 2013】
A.3
B.2
C.1
D.0 楚香凝解析：总共 C（4 2）=6 场、总共胜 6 次负 6 次，机械、外语和材料胜利场数相同，如果都胜 1 次的话，那么管理学院胜 3 次，与题干机械赢了管理不符；则机械、外语和材料都胜两次，管理胜了 0 次，选 D
例 9：某羽毛球赛共有 23 支队伍报名参赛，赛事安排 23 支队伍抽签两两争夺下一轮的出线权,没有抽到对手的队伍轮空，直接进入下一轮。那么，本次羽毛球赛最后共会遇到多少次轮空的情况？
【国家 2014】
A.1
B.2
C.3
D.4 楚香凝解析:只有奇数进行分组的时候才能出现轮空的情况
23-------12-------6------3-------2-------1
轮空
轮空
，选 B
例 10：8 个甲级队应邀参加比赛，先平均分成两组，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名和另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第三、四名，整个赛程的比赛场数是（
）
【福建 2006】
A.16
B.15
C.14
D.13 楚香凝解析：分为两组，每个组 4 队单循环，共 2*C（4 2）=12 场；4 个队伍决出冠亚军共4 场，共 12+4=16 场，选 A
比赛人数类 例 1：在一次象棋比赛中，每两个选手恰好比赛一局，每局赢者记 2 分，输者记 0 分，平局每个选手各记 1 分，今有 4 个人统计这次比赛中全部得分的总数，由于有的人粗心，其数据各不相同，分别为 1979，1980，1984，1985，经核实，其中有一人统计无误，则这次比赛共有多少名选手参加？ A.44
B.45
C.46
D.47 楚香凝解析：总共 C（n
2）局，每局总分 2，所以总分为 n*（n-1），连续两个自然数的尾数只能为 0、2、6，所以正确的统计结果只能是 1980，我们想到 45 2 =2025，45*44=2025-45=1980 刚好满足，所以 n=45，选 B
例 2：某乒乓球俱乐部决定举办一场所有会员间的循环赛，经俱乐部委员会计算，所需比赛场数刚刚超过 2000 场，即使省略掉委员会委员们之间的比赛，场数仍有 2001 场，那么这个乒乓球俱乐部有______个委员。
【上海 2014】
A.6
B.7
C.8
D.9 楚香凝解析：假设俱乐部共 n 人，单循环需要比赛的场数为 C（n 2）刚大于 2000，代入n=64 时，64*63/2=2016 刚刚超过 2000，所以共 64 人、共 2016 场，忽略委员间比赛后有 2001场，所以委员间有 2016-2001=15 场，C（m 2）=15 得 m*(m-1)=30，解得 m=6,选 A
比赛概率类 例 1：田忌与齐威王赛马并最终获胜被传为佳话，假设齐威王以上等马、中等马和下等马的固定程序排阵，那么田忌随机将自己的三匹马排阵时，能够获得两场胜利的概率是？ 【福建 2010】
A.2/3
B.1/3
C.1/6
D.1/9 楚香凝解析：齐威王的顺序上中下是固定的，田忌的顺序共有 A（3
3）=6 种，其中能获得两场胜利的只有下上中这一种，所以概率为 1/6，选 C
例2：两支篮球队打一个系列赛，三场两胜制，第一场和第三场在甲队的主场，第二场在乙队的主场。已知甲队主场赢球概率为0.7，客场赢球概率为0.5。问甲队赢得这个系列赛的概率为多少？
【浙江2014】
A、0.3
B、0.595
C、0.7
D、0.795 楚香凝解析：甲在主客主三场中，主场赢的概率0.7、输的概率0.3，客场输或赢的概率都是0.5，分三类
主
客
主 赢赢
P 1 =0.7*0.5 赢输赢
P 2 =0.7*0.5*0.7
输赢赢
P 3 =0.3*0.5*0.7
P=P 1 +P 2 +P 3 =0.7*0.5+（0.7*0.5*0.7+0.3*0.5*0.7）=0.7*0.5+0.5*0.7=0.7，选 C
例 3：乒乓球比赛的规则是五局三胜制。甲、乙两球员的胜率分别是 60%与 40%。在一次比赛中，若甲先连胜了前两局，则甲最后获胜的胜率是（
）。
【浙江 2006】
A.为 60%
B.在 81%～85%之间
C.在 86%～90%之间
D.在 91%以上 楚 香 凝 解 析 ：
乙 要 想 获 胜 的 话 ， 接 下 来 的 3 局 必 须 全 胜 ， 则 乙 获 胜 的 概 率P=0.4*0.4*0.4=0.064=6.4%，可得甲获胜的概率=1-6.5%=93.6%，选 D
比赛总分数类 例1：象棋比赛中，每个选手均与其他选手比赛一局，每局胜者得2分，负者得0分，和棋各得1分，那么以下可能是这次比赛所有选手得分的总和是：
【黑龙江2014】
A.78
B.67
C.56
D.89 楚香凝解析：假设总共有 n 个选手，单循环总场次= C(n 2)=n*(n-1)/2，因为每场无论胜负总分数为2分，所以总共的分数为 n*(n-1)，连续两个自然数乘积必为偶数，排除 BD，很容易想到七八五十六（此时总共8位选手，比赛了28场），选 C
比赛循环周期类 例 1：甲乙两人在玩一个沙盘游戏。比赛的规则是：在一个分为 50 个单位的区域上，每人轮流去规定这些区域作为自己的领地，每次可以划定 1 到 5 个单位，谁作为最后划定区域的人则为胜利者。如果由甲先划定，那么甲一开始要划定（
）个单位，才能保证自己的获胜。
【广州 2014】
A.1
B.2
C.3
D.4 楚香凝解析：每次划定 1-5 个单位，周期为 1+5=6，50 内有 8 个周期，50-8*6=2，所以甲开始要划定 2 个单位，接下来每次乙划定 a 个单位时，甲只需划定（6-a）个单位（保证两人为一周期）则最后必定是甲来划定完最后一个周期，选 B
拓展：如果题目改为谁作为最后划定区域的人则为失败者，那么甲一开始要划定 1 个单位，然后乙划定 a 个单位时，甲只需划定 6-a 个单位（保证两人为一周期），最后必定给乙留下最后 1 个单位。
比赛极值问题 ①总队伍数极值 例 1：某机关打算在系统内举办篮球比赛，采用单循环赛制，根据时间安排，只能进行 21场比赛，请问最多能有几个代表队参赛？ A.6
B.7
C.12
D.14 楚香凝解析：假设有 n 个队伍，总场数=n*（n-1）/2=21，整理得 n*（n-1）=42，所以 n=7，选 B
例 2：有 16 位选手参加象棋晋级赛. 每两人都只赛一盘. 每盘胜者积 1 分, 败者积 0 分。如果和棋, 每人各积 0.5 分。比赛全部结束后, 积分不少于 10 分者可以晋级，则本次比赛最多有名晋级者？ A.12
B.11
C.10
D.9 楚香凝解析：总分数=1*C（16
2）=120 分；假设 12 人晋级的话，则另外 4 人都是 0 分（不成立，另外 4 人两两之间有 6 场比赛至少有 6 分）；假设 11 人晋级的话，则另外 5 人总分10 分，11 人每人赛 15 场，每个人 5 胜 10 平=10 分，另外 5 人每人平 4 负 12 即可满足，选B
②分数极值 例 1：有 4 支队伍进行 4 项体育比赛，每项比赛的第一、第二、第三、第四名分别得到 5、3、2、1 分，每队的 4 项比赛的得分之和算作总分，如果已知各队的总分不相同，并且 A 队获得了三项比赛的第一名，问总分最少的队伍最多得多少分？
【联考 2009】
A.7
B.8
C.9
D.10 楚香凝解析：每项比赛总分=5+3+2+1=11 分，4 项比赛总共 44 分；要想最后一名得分最多，则其他队伍得分最少；A 获得三次第一总分最少为 3*5+1=16 分，剩下三只队伍最多得分=44-16=28 分，后三名分数构成等差数列，则第三名分数=28/3≈9.3 分，最后一名分数≈8.3，至多为 8 分，选 B
例 2：甲、乙、丙、丁四个队参加五项比赛，每项第一名得 3 分，第二名得 2 分，第三名得1 分，第四名不得分，已知甲队获得了 3 次第一名，乙队获得了 3 次第二名，那么得分最少的队的分数不可能超过（
）分。
【广东 2012】
A.5
B.6
C.7
D.8 楚香凝解析：每项总分=3+2+1=6 分，五项总分=5*6=30 分；要想第四名得分最高，其他队伍得分就要最少，甲最少 9 分，剩下三个队伍分数和=30-9=21 分，所以第四名的成绩不可能超过 21/3=7 分，选 C
例 3：一次数学考试满分为 100 分，某班前六名同学的平均分为 95 分，排名第六的同学得分 86 分，假如每个人的得分是互不相同的整数，那么排名第三的同学最少得多少分？ 【北京社招 2009】
A.94
B.97
C.95
D.96 楚香凝解析：要想使得排名第三扣的分数最多，其他人就要扣的最少，让前两名分别扣 0、1 分，第六名扣了 14，则这三人共扣了 15 分；六个人共扣 6*（100-95）=30 分，第 3、4、5 名共扣了 30-15=15 分，构成等差数列，第四名扣了 15/3=5 分，则第三名扣了 4 分、得了96 分，选 D
例 4：一学生在期末考试中 6 门课成绩的平均分为 92.5 分，且 6 门课的成绩是互不相同的整数，最高分是 99 分，最低分是 76 分，则按分数从高到低居第三的那门课至少得分为：
【江苏 2012B】
A.93
B.95
C.96
D.97 楚香凝解析：要想使得第三门扣的最多，其他门就要扣的最少，让前两门分别扣 1、2 分，第六门扣 24 分，这三门共扣了 27 分；六门共扣了 6*（100-92.5）=45 分，第 3、4、5 门扣了 45-27=18 分，构成等差数列，第四名扣了 18/3=6 分，则第三名扣了 5 分、得了 95 分，选 B
例 5：有 10 人参加篮球比赛，赢一局得 3 分，平 1 局得 1 分，输一局不得分，那么第三名和第四名的分数差最大是多少分？ A.20
B.18
C.17
D.16
楚香凝解析：第三名分数最多的情况为前三名都是胜 8 负 1 共 24 分（A 输给 B、B 输给 C、C输给 A）；第四名分数最少的情况为后七名都是平 6 负 3 共 6 分，则第三名和第四名分数差最大为 24-6=18，选 B
例 6：公司举办的内部业务知识竞赛有若干人参加，所有参赛者获得的名次之和为 300，且所有人没有并列名次。其中，销售部门、售后服务部门和技术部门参赛者获得的名次平均数分别为 11.3、10.4 和 9.2，问其他部门获得的名次最高为多少？ 【河南 2014】
A.16
B.18
C.20
D.21 楚香凝解析：假设有 n 人，可得 1+2+3+…+n=n*（n+1）/2=300，所以 n*（n+1）=600，解得n=24；每个部门的总分数必为整数，所以销售部门人数为 10、售后服务部门人数为 5、技术部门人数为 5，总共 10+5+5=20 人、总名次=10*11.3+5*10.4+5*9.2=211，则其他部门的人数为 24-20=4、总名次=300-211=89，要想让其中一个最高（名次数尽可能小），则剩下的就得尽可能低（名次数尽可能大），剩下三个分别取 22、23、24，此时最高的名次为89-23*3=20，选 C
例 7：有一群人参加投篮比赛，比赛时长 3 分钟，投进一次记 2 分，不进不扣分。所有人平均分为 77,最低分为 70。前四名分数不同，其中第四名为 90 分，后发现此人作弊，成绩无效。去掉此人后，平均分为 76 分。则此次比赛中第二名最多得多少分？ A.96
B.98
C.100
D.102 楚香凝解析：以前每人平均分 76，加了这个 90 分的人使得所有人平均分增加 1 分，说明总共 14 个人，以总分 100 为参照，共扣了 23*14=322 分，投进一个得 2 分，所以每个人的总得分都为偶数、扣的分数也为偶数；第二名要想扣的最少，其他人就要扣的尽可能多，第四名扣了 10 分，让第三名扣了 8 分、第 5-14 都扣了 30 分，则第 3-14 名共扣了 30*10+10+8=318分，剩下 4 分是前两名扣的，让第一名扣 0 分、第二名扣 4 分，所以第二名 96 分，选 A
例 8：某机关 20 人参加百分制的普法考试，及格线为 60 分，20 人的平均成绩为 88 分，及格率为 95%。所有人得分均为整数，且彼此得分不同。问成绩排名第十的人最低考了多少分？ 【国家 2010】
A.89
B.88
C.91
D.90 楚香凝解析：20 人总共扣了 20*（100-88）=240 分，要想使得第十名得分最低，就要使第十名扣的分数尽可能多，其他人扣的分数尽可能少；前 9 名分别扣了 0、1…8 分、最后一名扣了 41 分，总共扣了 36+41=77 分，所以第十名到第 19 名这十个人扣了 240-77=163 分；因为第 11 名到第 19 名扣的分数要尽可能多，所以相当于从第 10 名到第 19 名扣的分数构成公差为 1 的等差数列，中位数为第 14.5 名扣了 163/10=16.3 分，所以第 10 名扣了 16.3-（14.5-10）=11.8，第十名最多扣 11.8，所以取 11，则第十名最少得分为 100-11=89，选 A
例 9 ：
一个 20 人的班级举行百分制测验，平均分为 79 分，所有人得分都是整数且任意两人得分不同。班级前 5 名的平均分正好是 16 到 20 名平均分的 2 倍。则班级第 6 名和第 15 名之间的分差最大为多少分？
【北京 2014】
A.34
B.37
C.40
D.43 楚香凝解析：要使得第 6 名和第 15 名分差最大，让第六名分数尽可能高、第 15 名分数尽可能低；构造前五名的成绩分别是 100、99、98、97、96 分，后五名的成绩分别是 51、50、49、48、47，此时第六名 95 分、第 15 名 52 分，分差 95-52=43；第 7-第 14 名的总成绩=79*20-（100+95）*3-（52+47）*3=698 分，8 个人的平均分 87.25，显然可以构造出，所以 43 即为正确答案，选 D
③总局数极值 例 1：小杨、小李、小魏三人比赛下围棋，每局两人，输者退下换另一个人。这样继续下去，在小杨下了 8 局，小李下了 5 局时，小魏最多下了几局？
A.12
B.11
C.10
D.9
楚香凝解析：假设小魏下了 a 局、总共 b 局，则小杨和小李下了（b-a）局，由两容斥公式可得 8+5-（b-a）=b，整理得 13+a=2b，所以 a 为奇数，排除 AC；最理想的情况下，小魏一局没输，小魏的对手分别为小杨、小李、小杨、小李…交替，总共 11 局，其中小杨下了 6局、小李下了 5 局，不符合题意，排除 B；选 D
例 2：8 个人比赛国际象棋，约定每两人之间都要比赛一局，胜者得 2 分，平局得 1 分，负的不得分。在进行了若干局比赛之后，发现每个人的分数都不一样。问最多还有几局比赛没比？
【山西 2014】
A.3
B.7
C.10
D.14 楚香凝解析：每局不管谁胜谁负，两人总分数为 2 分，八个人单循环赛总共 C82=28 场，总分数应该为 28*2=56 分，每个人得分不一样，我们令八个人目前的得分分别为 0、1、2…7，总共得了 8*7/2=28 分，还差 28 分，所以还差 28/2=14 局比赛没比，选 D
例 3：某单位组织的羽毛球男单比赛共有 48 名选手报名参加，比赛采用淘汰赛制，在比赛中负一场的选手即被淘汰，直至决出最后的冠军，如每名选手每天最多参加一场比赛，则比赛至少需要举行几天？
【北京 2014】
A.4
B.5
C.6
D.7 楚香凝解析：第一天比赛完剩下 24 名选手，第二天比赛完剩下 12 名，第三天比赛完剩下 6名，第四天比赛完剩下 3 名，第五天比赛完剩下 2 名（有一人没参与），第六天可以决出冠军，选 C
例 4：象棋邀请赛的六名选手举行双循环赛,最后各人的获胜的次数都不相同。那么比赛最多有多少场平局？ A.0
B.1
C.9
D.15 楚香凝解析：总场数 A（6
2）=30，六个人获胜场数分别为 0、1、2、3、4、5 共 15 场，则平局最多为 30-15=15 场，选 D
比赛结果种数类 例 1：某社区组织开展知识竞赛，有 5 个家庭成功晋级决赛的抢答环节，抢答环节共 5 道题。计分方式如下：每个家庭有 10 分为基础分；若抢答到题目，答对一题得 5 分，答错一题扣
2 分；抢答不到题目不得分。那么，一个家庭在抢答环节有可能获得（
）种不同的分数。
【广东 2013】
A.18
B.21
C.25
D.36 楚香凝解析：分类，答对一道和答错一道相差 5+2=7 分； ①抢到 0 道时，得分只有一种，即基础分 10 分； ②抢到 1 道时，得分有两种，答错为 8 分、答对为 15 分； ③抢到 2 道时，得分有三种，分别是 6、13、20； ④抢到 3 道时，得分有四种，分别是 4、11、18、25； ⑤抢到 4 道时，得分有五种，分别是 2、9、16、23、30； ⑥抢到 5 道时，得分有六种，分别是 0、7、14、21、28、35； 共 1+2+3+4+5+6=21 种，选 B
例 2：某次数学竞赛共有 10 道选择题，评分办法是答对一道得 4 分，答错一道扣 1 分，不答得 0 分。设这次竞赛最多有 N 种可能的成绩，则 N 应等于多少？
【深圳 2008】
A.45
B.47
C.49
D.51 楚香凝解析：分类，答对一道和答错一道相差 5 分； ①答 0 道时，得分只有一种，即 0 分； ②答 1 道时，得分有两种，答错为-1、4； ③答 2 道时，得分有三种，分别是-2、3、8； ④答 3 道时，得分有四种，分别是-3、2、7、12； ⑤答 4 道时，得分有五种，分别是-4、1、6、11、16； ⑥答 5 道时，得分有六种，分别是-5、0、5、10、15、20； ⑦答 6 道时，得分有七种，分别是-6、-1、4、9、14、19、24； ⑧答 7 道时，得分有八种，分别是-7、-2、3、8、13、18、23、28； ⑨答 8 道时，得分有九种，分别是-8、-3、2、7、12、17、22、27、32； ⑩答 9 道时，得分有十种，分别是-9、-4、1、6、11、16、21、26、31、36； ⑾答 10 道时，得分有十一种，分别是-10、-5、0、5、10、15、20、25、30、35、40； 可以看出从①-⑥都是包含在⑦-⑾里的，所以我们用 1+2+…+11=66 算出总数后，还要减掉其中重复的情况数 1+2+…+6=21，共 66-21=45 种，选 A
对于此类问题，楚老师先给出公式：
a 道题，对一道得 b 分、错一道得 c 分、不答 0 分，共有多少种得分情况？ （1）当 b 和 c 不互质时，先同时除以最大公约数变成标准形式；
（2）当 b 和 c 互质时，(1+2+3+…[a+1])-(1+2+…+[a-b-c+1])，其中（1+2+…+[a-b-c+1]）表示重复的情况数，如果[n-a-b+1]≤0 的话，公式就变为(1+2+3+…[a+1])；
关于互质情况的详细证明在此不作赘述，只以例 2 为例作简单分析帮助大家理解。
有 a 道题，总情况数=1+2+3+…[a+1]种 为什么会出现重复，我们假设对了 m 道错了 n 道，当 m+n+4+1≤10 时，例如对了 2 道错了 1道，我们可以在此基础上多对 1 道、多错 4 道（1*4-4*1=0），相当于增加了 0 分对总分没影响，这就是出现重复的原因，要想避免重复的话 m+n 必须＞5，所以答的题目数至少为 6道、要从⑦开始加。
对于不互质的情况，需要进行一步简单的转化。
例 1：某次数学竞赛共有 10 道选择题，评分办法是答对一道得 4 分，答错一道扣 2 分，不答得 0 分。设这次竞赛最多有 N 种可能的成绩，则 N 应等于多少？
楚香凝解析：此时 a=10、b=4、c=2，b 和 c 不互质，所以同时除以最大公约数 2，转化为 a=10、b=2、c=1、a-b-c+1=8，代入公式（1+2+…+11）-（1+2+…8）=9+10+11=30； 或者我们也可以简化步骤，从 10+1=11 开始递减，总共有 2+1=3 个数，即是 11+10+9=30。
变式：
例 2：某次数学竞赛共有 10 道选择题，评分办法是回答完全正确得 5 分，不完全正确得 3分，完全错误得 0 分。设这次竞赛最多有 N 种可能的成绩，则 N 应等于多少？ 楚香凝解析：我们只需做一步转化，使之转化为标准型。
鸡兔同笼思想，假设初始为 30 分，相当于 10 道题全部不完全正确，在此基础上，每对一道增加 2 分、每错一道减少 3 分，那么就变成了 某次数学竞赛共有 10 道选择题，基础分 30 分，评分办法是回答完全正确得 2 分，不完全正确得 0 分，完全错误得-3 分。设这次竞赛最多有 N 种可能的成绩，则 N 应等于多少？ 楚香凝解析：a=10、b=2、c=3，从 11 开始往后加、总共 5 个数，所以是 11+10+9+8+7=45种。
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