例谈函数奇偶性应用中的两类求值问题

　　函数奇偶性是函数的主要性质，在解题中运用很广泛，下面就结合具体例子谈一谈关于函数奇偶性应用中的两类求值问题。
　　一、利用函数的奇偶性直接求值
　　例1：f（x）是R上的奇函数，x∈（0，+∞）的解析式为f（x）=■.求f（-1）的值.
　　解1：∵f（x）是R上的奇函数∴f（-x）=-f（x），则f（-1）=-f（1）
　　∵f（x）=■，x∈（0，+∞） ∴f（1）=■
　　∴f（-1）=-f（1）=-■
　　解2：设x∈（-∞，0），则-x∈（0，+∞），∴f（-x）=■=■
　　∵f（x）是R上的奇函数∴f（-x）=-f（x），则f（x）=-f（-x）=
　　-■=■
　　则x∈（-∞，0）的函数解析式为f（x）=■，∴f（-1）=■=-■
　　点评：利用函数的奇偶性求值主要是将未知的值或区间转化为已知的值或区间变式：设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）+g（x）=■，求函数f（2）、g（2）的值.
　　解∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，
　　∴f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x），由f（x）+g（x）=■①
　　用-x代换x得f（-x）+g（-x）=■，
　　∴f（x）-g（x）=■②
　　（①+②）÷2，得f（x）=■；则f（2）=■
　　（①-②）÷2，得g（x）=■.则g（2）=■
　　例2：已知x，y∈R满足（x-1）3+2018（x-1）=-1，（y-1）3+2018（y-1）=1，求x+y的值.
　　解：设g（t）=t3+2018t，而且容易知道g（-t）=-g（t），∴g（t）在R上是奇函数
　　∵（x-1）3+2018（x-1）=-1 ∴g（x-1）=-1
　　∵（y-1）3+2018（y-1）=1 ∴g（y-1）=1
　　g（x-1）=-g（y-1）
　　則∴x-1=-（y-1）
　　∴x+y=2
　　点评：观察式子特点，将x-1，y-1视为一个整体构造函数g（t）=t3+2018t，再利用函数的奇偶性找到x-1，y-1的关系，进而求出x+y=2
　　以上两例都是已知或可证明函数的奇偶性解决求值问题，下面若是遇见非奇非偶函数可以间接处理。
　　二、利用函数的奇偶性间接求值
　　例3：f（x）=ax3+bx+c3■+8且f（-2）=10，求f（2）的值
　　解：设g（x）=f（x）-8，则g（x）=ax3+bx+c3■是在R上的奇函数
　　g（-2）=f（-2）-8=10-8=2，
　　∴g（2）=-g（-2）=-2
　　又∵g（2）=f（2）-8
　　∴-2=f（2）-8
　　则f（2）=8-2=6
　　点评：例题中虽然函数f（x）为非奇非偶函数，但观察表达式可以发现其间存在奇偶性的表达式，所以可将f（x）=g（x）-8转化为奇函数g（x）求值从而间接求出f（2）的值。
　　例4：已知f（x）=x3+3x2+6x+14，f（a）=1，f（b）=19，求a+b的值
　　解：∵f（x）=x3+3x2+6x+14=（x+1）3+3（x+1）+10
　　∵f（a）=（a+1）3+3（a+1）+10=1
　　f（b）=（b+1）3+3（b+1）+10=19
　　∴（a+1）3+3（a+1）=-9
　　∴（b+1）3+3（b+1）=9
　　设g（t）=t3+t，而且g（t）在R上是奇函数，则a+1=
　　-（b+1），∴a+b=-2
　　点评：本题通过巧妙构造新的“准奇偶性”的函数来解决函数中的求值问题，这种利用奇偶性构造方法在以后的学习中是常用的方法。
　　？誗编辑 张珍珍

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